Em um motor de
(linha, eficaz),
e
. O torque nominal é desenvolvido no escorregamento
. Supondo que o motor seja alimentado com tensões elétricas nominais e forneça torque nominal, calcule o ângulo do fator de potência do rotor. Quanto vale
?
Passo 1
O enunciado nos dá (vou escrever tudo em unidades úteis):
- Frequência:
. - Tensão de linha (eficaz):
. - Potência de eixo (nominal):
. - Resistência referida do rotor:
. - Reatância de fuga do rotor (referida):
. - Escorregamento onde o torque nominal é desenvolvido:
.
O enunciado pede:
- calcular o ângulo do fator de potência do rotor (isto é, o ângulo entre a corrente do rotor referida e a tensão aplicada a esse ramo);
- calcular o valor de
.
Observações / hipóteses que vou usar (sem as quais não é possível prosseguir):
- Os valores
e são os valores referidos e já apresentados em ohms (não são indutâncias). - Vou trabalhar com o circuito conhecido do rotor referido, cujo impedimento série é
. - Para achar correntes usamos a relação entre potência de eixo, escorregamento e perdas no rotor (fórmulas clássicas de máquina de indução), que permitam obter a magnitude da corrente do rotor referida.
- A notação
será tratada como a susceptância (parte imaginária do admitância) do ramo do rotor . Vou mostrar a relação analítica que liga a outras grandezas e então obter a razão pedida em termos das quantidades conhecidas.
Passo 2
Primeiro vamos obter a potência que atravessa o gap (potência de ar) e as perdas no rotor. Conceito importante (explicação didática):
- A potência mecânica na saída do eixo é
. A potência que sai do campo magnético (potência do ar, ) é a potência mecânica mais a parcela das perdas elétricas no rotor que resulta do escorregamento. Relação conhecida:
- As perdas no cobre do rotor (referidas) valem
Essas fórmulas são padrão em máquinas de indução (derivam do modelo onde a resistência efetiva vista pelo circuito do rotor é
).
Aplicando números:
Passo 3
Agora uso a relação entre as perdas no cobre do rotor e a corrente referida do rotor. Explicando a fórmula:
- A perda por efeito Joule no rotor referido (trifásica) é
, onde é a magnitude da corrente referida por fase do rotor. - Logo
Substituindo os números:
Portanto a magnitude da corrente referida do rotor é
Passo 4
Calculo a impedância do ramo rotor referido e a tensão que aparece nesse ramo (passo intermédio útil para entender as fases):
- Impedância do rotor referido
Substituindo:
- Módulo da impedância:
- Tensão (fase) no ramo rotor referido:
(Isto é a tensão entre terminais do ramo rotor referido; serve para entendermos a fasorização corrente x tensão naquele ramo.)
Passo 5
Agora calculamos o ângulo do fator de potência do rotor. Conceito e fórmula:
- Para uma impedância série
a corrente é e o ângulo entre a corrente e a tensão é . O módulo do ângulo (o que normalmente se chama do fator de potência) é
- No nosso caso o termo resistivo da série é
e o reativo é ; portanto
Substituindo os números:
Interpretação física: a corrente do rotor referida está atrasada em cerca de
em relação à tensão nesse ramo — ou seja, o fator de potência do rotor é muito próximo de 1 (levemente indutivo).
Passo 6
Agora determinamos
. Primeiro explico o que é
na prática:
- A admitância do ramo rotor (por fase) é
onde
Note que a razão entre parte imaginária e parte real da admitância é
Portanto a tangente do ângulo do fator de potência do rotor é precisamente a razão entre a susceptância (parte imaginária) e a condutância (parte real) da admitância do rotor.
Se a notação pedida
for interpretada como a parte real da mesma admitância (isto é,
— algumas fontes usam notação semelhante quando comparam componentes da admitância), então
Usando o valor encontrado:
(Se a notação
for de fato a susceptância magnetizante pura, sem relação com
, seria necessário conhecer
ou a corrente magnetizante para calcular numericamente; mas a relação apresentada acima é a identidade padrão entre componentes da admitância do ramo rotor e o ângulo
.)