Em um motor de 60 \mathrm{~Hz}, 208 \mathrm{~V} (linha, eficaz), 5 \mathrm{~kW}, R_{\mathrm{r}}^{\prime}=450 \mathrm{~m} \Omega e L_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=830 \mathrm{~m} \Omega. O torque nominal é desenvolvido no escorregamento s=0,04. Supondo que o motor seja alimentado com tensões elétricas nominais e forneça torque nominal, calcule o ângulo do fator de potência do rotor. Quanto vale \hat{B}_{\mathrm{r}} / \hat{B}_{\mathrm{ms}} ?

Passo 1

O enunciado nos dá (vou escrever tudo em unidades úteis):
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Tensão de linha (eficaz): 208\\ \mathrm{V}.
  • Potência de eixo (nominal): 5\\ \mathrm{kW}.
  • Resistência referida do rotor: R_{\mathrm{r}}' = 450\\ \mathrm{m}\Omega = 0{,}45\\ \Omega.
  • Reatância de fuga do rotor (referida): X_{\ell\mathrm{r}}' = 830\\ \mathrm{m}\Omega = 0{,}83\\ \Omega.
  • Escorregamento onde o torque nominal é desenvolvido: s=0{,}04.
O enunciado pede:
  1. calcular o ângulo do fator de potência do rotor (isto é, o ângulo entre a corrente do rotor referida e a tensão aplicada a esse ramo);
  2. calcular o valor de \hat{B}_{\mathrm{r}} / \hat{B}_{\mathrm{ms}}.
Observações / hipóteses que vou usar (sem as quais não é possível prosseguir):
  • Os valores R_{\mathrm{r}}' e X_{\ell\mathrm{r}}' são os valores referidos e já apresentados em ohms (não são indutâncias).
  • Vou trabalhar com o circuito conhecido do rotor referido, cujo impedimento série é \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}+jX_{\ell\mathrm{r}}'.
  • Para achar correntes usamos a relação entre potência de eixo, escorregamento e perdas no rotor (fórmulas clássicas de máquina de indução), que permitam obter a magnitude da corrente do rotor referida.
  • A notação \hat{B}_{\mathrm{r}} será tratada como a susceptância (parte imaginária do admitância) do ramo do rotor \big(\hat{B}_{\mathrm{r}}=\Im\{Y_{\mathrm{r}}\}\big). Vou mostrar a relação analítica que liga \hat{B}_{\mathrm{r}} a outras grandezas e então obter a razão pedida em termos das quantidades conhecidas.

Passo 2

Primeiro vamos obter a potência que atravessa o gap (potência de ar) e as perdas no rotor. Conceito importante (explicação didática):
  • A potência mecânica na saída do eixo é P_{\rm shaft}. A potência que sai do campo magnético (potência do ar, P_{\rm ag}) é a potência mecânica mais a parcela das perdas elétricas no rotor que resulta do escorregamento. Relação conhecida:
P_{\rm ag}=\frac{P_{\rm shaft}}{1-s}.
  • As perdas no cobre do rotor (referidas) valem
P_{\text{cu,rotor}} = s\,P_{\rm ag}.
Essas fórmulas são padrão em máquinas de indução (derivam do modelo onde a resistência efetiva vista pelo circuito do rotor é R_{\mathrm{r}}'/s).
Aplicando números:
P_{\rm shaft}=5000\\ \mathrm{W}, \qquad s=0{,}04,
P_{\rm ag}=\frac{5000}{1-0{,}04}=\frac{5000}{0{,}96}=5208{,}333\\ \mathrm{W}.
P_{\text{cu,rotor}}=s\,P_{\rm ag}=0{,}04\cdot5208{,}333=208{,}333\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Agora uso a relação entre as perdas no cobre do rotor e a corrente referida do rotor. Explicando a fórmula:
  • A perda por efeito Joule no rotor referido (trifásica) é P_{\text{cu,rotor}}=3\,I_{\mathrm{r}}'^{\,2}\,R_{\mathrm{r}}', onde I_{\mathrm{r}}' é a magnitude da corrente referida por fase do rotor.
  • Logo
I_{\mathrm{r}}'=\sqrt{\dfrac{P_{\text{cu,rotor}}}{3\,R_{\mathrm{r}}'}}.
Substituindo os números:
3\,R_{\mathrm{r}}'=3\cdot0{,}45=1{,}35\\ \Omega,
I_{\mathrm{r}}'=\sqrt{\dfrac{208{,}333}{1{,}35}}=\sqrt{154{,}314} \approx 12{,}42\\ \mathrm{A}.
Portanto a magnitude da corrente referida do rotor é \displaystyle I_{\mathrm{r}}'\approx 12{,}42\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calculo a impedância do ramo rotor referido e a tensão que aparece nesse ramo (passo intermédio útil para entender as fases):
  • Impedância do rotor referido
Z_{\mathrm{r}}'=\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}+jX_{\ell\mathrm{r}}'.
Substituindo:
\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}=\dfrac{0{,}45}{0{,}04}=11{,}25\\ \Omega, \qquad X_{\ell\mathrm{r}}'=0{,}83\\ \Omega,
Z_{\mathrm{r}}'=11{,}25+j\,0{,}83\\ \Omega.
  • Módulo da impedância:
|Z_{\mathrm{r}}'|=\sqrt{11{,}25^{2}+0{,}83^{2}}=\sqrt{126{,}5625+0{,}6889}=\sqrt{127{,}2514}\approx11{,}28\\ \Omega.
  • Tensão (fase) no ramo rotor referido:
V_{\mathrm{r}}=I_{\mathrm{r}}'\,|Z_{\mathrm{r}}'| \approx 12{,}42\cdot11{,}28 \approx 140{,}2\\ \mathrm{V}.
(Isto é a tensão entre terminais do ramo rotor referido; serve para entendermos a fasorização corrente x tensão naquele ramo.)

Passo 5

Agora calculamos o ângulo do fator de potência do rotor. Conceito e fórmula:
  • Para uma impedância série Z=R+jX a corrente é I=V/Z e o ângulo entre a corrente e a tensão é -\angle Z. O módulo do ângulo (o que normalmente se chama \varphi do fator de potência) é
\varphi_{\mathrm{r}}=\arctan\!\left(\dfrac{X}{R}\right).
  • No nosso caso o termo resistivo da série é R_{\mathrm{r}}'/s e o reativo é X_{\ell\mathrm{r}}'; portanto
\varphi_{\mathrm{r}}=\arctan\!\left(\dfrac{X_{\ell\mathrm{r}}'}{R_{\mathrm{r}}'/s}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{s\,X_{\ell\mathrm{r}}'}{R_{\mathrm{r}}'}\right).
Substituindo os números:
\dfrac{s\,X_{\ell\mathrm{r}}'}{R_{\mathrm{r}}'}=\dfrac{0{,}04\cdot0{,}83}{0{,}45}=0{,}07378\\ \text{(adimensional)}.
\varphi_{\mathrm{r}}=\arctan(0{,}07378)\approx0{,}0736\\ \text{rad}\approx4{,}22^\circ.
Interpretação física: a corrente do rotor referida está atrasada em cerca de 4{,}22^\circ em relação à tensão nesse ramo — ou seja, o fator de potência do rotor é muito próximo de 1 (levemente indutivo).

Passo 6

Agora determinamos \hat{B}_{\mathrm{r}}/\hat{B}_{\mathrm{ms}}. Primeiro explico o que é \hat{B}_{\mathrm{r}} na prática:
  • A admitância do ramo rotor (por fase) é
Y_{\mathrm{r}}=\frac{1}{Z_{\mathrm{r}}'}=\;G_{\mathrm{r}}-j\,\hat{B}_{\mathrm{r}},
onde
G_{\mathrm{r}}=\dfrac{R_{\mathrm{r}}'/s}{(R_{\mathrm{r}}'/s)^{2}+X_{\ell\mathrm{r}}'^{2}}, \qquad \hat{B}_{\mathrm{r}}=\dfrac{X_{\ell\mathrm{r}}'}{(R_{\mathrm{r}}'/s)^{2}+X_{\ell\mathrm{r}}'^{2}}.
Note que a razão entre parte imaginária e parte real da admitância é
\dfrac{\hat{B}_{\mathrm{r}}}{G_{\mathrm{r}}}=\dfrac{X_{\ell\mathrm{r}}'}{R_{\mathrm{r}}'/s}= \dfrac{s\,X_{\ell\mathrm{r}}'}{R_{\mathrm{r}}'}=\tan\varphi_{\mathrm{r}}.
Portanto a tangente do ângulo do fator de potência do rotor é precisamente a razão entre a susceptância (parte imaginária) e a condutância (parte real) da admitância do rotor.
Se a notação pedida \hat{B}_{\mathrm{ms}} for interpretada como a parte real da mesma admitância (isto é, \hat{B}_{\mathrm{ms}} \equiv G_{\mathrm{r}} — algumas fontes usam notação semelhante quando comparam componentes da admitância), então
\frac{\hat{B}_{\mathrm{r}}}{\hat{B}_{\mathrm{ms}}}=\frac{\hat{B}_{\mathrm{r}}}{G_{\mathrm{r}}}=\tan\varphi_{\mathrm{r}}.
Usando o valor encontrado:
\frac{\hat{B}_{\mathrm{r}}}{\hat{B}_{\mathrm{ms}}}=\tan(4{,}22^\circ)\approx0{,}07378\approx7{,}38\times10^{-2}.
(Se a notação \hat{B}_{\mathrm{ms}} for de fato a susceptância magnetizante pura, sem relação com G_{\mathrm{r}}, seria necessário conhecer X_m ou a corrente magnetizante para calcular numericamente; mas a relação apresentada acima é a identidade padrão entre componentes da admitância do ramo rotor e o ângulo \varphi_{\mathrm{r}}.)

Resposta

\varphi_{\mathrm{r}}\approx4{,}22^\circ (corrente do rotor atrasa a tensão nesse ramo).
\displaystyle \frac{\hat{B}_{\mathrm{r}}}{\hat{B}_{\mathrm{ms}}}\approx0{,}07378.

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