Por que a construção do corpo de frações não funciona para anéis com divisores de zero?

Passo 1

O enunciado pergunta por que não podemos repetir a construção “corpo de frações” para um anel R que tenha divisores de zero. O conteúdo aqui é o de localização de anéis (ou corpo de frações, no caso de domínio de integridade). Para levar adiante essa construção precisamos, em especial, da propriedade de cancellation (cancelamento) em multiplicação, típica de domínios de integridade, e de que o conjunto de denominadores forme um conjunto multiplicativo sem zero.

Passo 2

Na construção usual para um domínio de integridade D, definimos o conjunto S = D\setminus\{0\} e consideramos pares (a,b) com a\in D, b\in S. Impomos a seguinte relação de equivalência:
(a,b)\sim(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad ad = bc
A partir daí, denotamos a classe de (a,b) por \tfrac{a}{b}, provamos que \sim é de fato uma relação de equivalência e que a soma e o produto de frações estão bem definidos — tudo isso usando a propriedade de cancelamento em D.

Passo 3

Se R tem divisores de zero, ou seja, existem x\neq0 e y\neq0 com xy=0, a implicação
ad = bc \;\Longrightarrow\; \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
passa a falhar em pelo menos um dos pontos:
  1. A relação \sim pode deixar de ser transitiva, porque em três pares diferentes podemos ter cancelamentos que não se “acomodam” bem.
  2. O mapa canônico R\to \{\text{frações}\}çõ, a\mapsto \tfrac{a}{1}, deixa de ser injetor: um elemento não nulo de R pode corresponder à classe de zero.

Passo 4

Exemplo concreto em R=\mathbb Z/6\mathbb Z: note que 2\cdot3\equiv0\pmod6. Então na tentativa de frações teríamos
(2,3)\sim(0,1) \quad\text{pois}\quad 2\cdot1 = 0\cdot3.
Isso força \tfrac{2}{3}=0 no candidato a “corpo de frações”. Mas \tfrac{2}{3} deveria ser invertível em um corpo de frações (já que 3 não é zero em \mathbb Z/6\mathbb Z), e ao mesmo tempo dá zero. Isso é contraditório.

Passo 5

O cerne do problema é a falta da propriedade de cancelamento: em um domínio de integridade, ad=bc e d\neq0 implicam a=\tfrac{b}{d}c de modo consistente, mas com divisores de zero essa dedução falha e misturamos zero com elementos “não nulos”.

Resposta

A construção do corpo de frações exige que o anel original seja domínio de integridade para que a relação (a,b)\sim(c,d) seja bem-definida e o mapa a\mapsto a/1 seja injetor. Se houver divisores de zero, falha o cancelamento e a relação de equivalência não se mantém, gerando contradições (por exemplo, frações não nulas viram zero).

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