Por que a construção do corpo de frações não funciona para anéis com divisores de zero?
Passo 1
O enunciado pergunta por que não podemos repetir a construção “corpo de frações” para um anel
que tenha divisores de zero. O conteúdo aqui é o de localização de anéis (ou corpo de frações, no caso de domínio de integridade). Para levar adiante essa construção precisamos, em especial, da propriedade de cancellation (cancelamento) em multiplicação, típica de domínios de integridade, e de que o conjunto de denominadores forme um conjunto multiplicativo sem zero.
Passo 2
Na construção usual para um domínio de integridade
, definimos o conjunto
e consideramos pares
com
,
. Impomos a seguinte relação de equivalência:
A partir daí, denotamos a classe de
por
, provamos que
é de fato uma relação de equivalência e que a soma e o produto de frações estão bem definidos — tudo isso usando a propriedade de cancelamento em
.
Passo 3
Se
tem divisores de zero, ou seja, existem
e
com
, a implicação
passa a falhar em pelo menos um dos pontos:
- A relação
pode deixar de ser transitiva, porque em três pares diferentes podemos ter cancelamentos que não se “acomodam” bem. - O mapa canônico
, , deixa de ser injetor: um elemento não nulo de pode corresponder à classe de zero.
Passo 4
Exemplo concreto em
: note que
. Então na tentativa de frações teríamos
Isso força
no candidato a “corpo de frações”. Mas
deveria ser invertível em um corpo de frações (já que
não é zero em
), e ao mesmo tempo dá zero. Isso é contraditório.
Passo 5
O cerne do problema é a falta da propriedade de cancelamento: em um domínio de integridade,
e
implicam
de modo consistente, mas com divisores de zero essa dedução falha e misturamos zero com elementos “não nulos”.
Resposta
A construção do corpo de frações exige que o anel original seja domínio de integridade para que a relação
seja bem-definida e o mapa
seja injetor. Se houver divisores de zero, falha o cancelamento e a relação de equivalência não se mantém, gerando contradições (por exemplo, frações não nulas viram zero).