Seja mu=f(x, y), com: x(n, s)=Omega^2-s^2 e y(n, s)=s^2-Omega^2; encontre s partial mupartial Omega+Lambda partial mupartial s;

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve derivadas parciais de uma função de várias variáveis. A função dada é mu = f(x, y), onde x e y são funções de n e s. Precisamos encontrar a expressão s partial mupartial Omega + Lambda partial mupartial s. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções x(n, s) e y(n, s):
x(n, s) = Omega^2 - s^2
y(n, s) = s^2 - Omega^2
Observamos que y(n, s) é o oposto de x(n, s).

Passo 3

Como mu = f(x, y), vamos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de mu em relação a Omega e s.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial mupartial Omega:
partial mupartial Omega = partial fpartial x cdot partial xpartial Omega + partial fpartial y cdot partial ypartial Omega
Calculando as derivadas das funções x e y em relação a Omega:
partial xpartial Omega = 2Omega
partial ypartial Omega = -2Omega
Então:
partial mupartial Omega = partial fpartial x cdot 2Omega + partial fpartial y cdot (-2Omega) = 2Omega ( partial fpartial x - partial fpartial y )

Passo 5

Agora, calculamos partial mupartial s:
partial mupartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s
Calculando as derivadas das funções x e y em relação a s:
partial xpartial s = -2s
partial ypartial s = 2s
Então:
partial mupartial s = partial fpartial x cdot (-2s) + partial fpartial y cdot 2s = 2s ( partial fpartial y - partial fpartial x )

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas encontradas na expressão original:
s partial mupartial Omega + Lambda partial mupartial s = s cdot 2Omega ( partial fpartial x - partial fpartial y ) + Lambda cdot 2s ( partial fpartial y - partial fpartial x )

Passo 7

Simplificamos a expressão:
= 2sOmega ( partial fpartial x - partial fpartial y ) + 2Lambda s ( partial fpartial y - partial fpartial x )
= 2s [ Omega ( partial fpartial x - partial fpartial y ) - Lambda ( partial fpartial x - partial fpartial y ) ]
= 2s (Omega - Lambda) ( partial fpartial x - partial fpartial y )

Resposta

s partial mupartial Omega + Lambda partial mupartial s = 2s (Omega - Lambda) ( partial fpartial x - partial fpartial y )

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