Considere um triângulo com lados
e
, onde os ângulos opostos a estes lados são
e
, respectivamente. Prove a lei dos senos onde:
(Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a base. Estas serão todas iguais.)
Passo 1
Neste problema queremos provar a lei dos senos para um triângulo de lados
e ângulos opostos
. Vamos usar o conceito de área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo formado entre eles.
Passo 2
Em qualquer triângulo, ao tomar dois lados como base e um deles projetado na direção perpendicular à base, mostra-se que a área pode ser escrita como ½·(lado1)·(lado2)·sen(do ângulo entre eles). Assim, a fórmula genérica é:
Passo 3
Aplicando essa fórmula aos lados
e
que formam o ângulo
, obtemos:
Passo 4
Agora aplicamos aos lados
e
que formam o ângulo
:
Passo 5
E, finalmente, aos lados
e
que formam o ângulo
:
Passo 6
Como todas essas expressões representam a mesma área
, igualamos as quantidades dentro do fator ½ e obtemos:
Dividindo todos os termos por
, chega-mos à relação desejada.