Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes lados são widehatA, widehatB e widehatC, respectivamente. Prove a lei dos senos onde:
sen widehatAa=sen widehatBb=sen widehatCc
(Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a base. Estas serão todas iguais.)

Passo 1

Neste problema queremos provar a lei dos senos para um triângulo de lados a,b,c e ângulos opostos widehat A,widehat B,widehat C. Vamos usar o conceito de área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo formado entre eles.

Passo 2

Em qualquer triângulo, ao tomar dois lados como base e um deles projetado na direção perpendicular à base, mostra-se que a área pode ser escrita como ½·(lado1)·(lado2)·sen(do ângulo entre eles). Assim, a fórmula genérica é:
Deâ

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos lados b e c que formam o ângulo widehat A, obtemos:
De

Passo 4

Agora aplicamos aos lados c e a que formam o ângulo widehat B:
De

Passo 5

E, finalmente, aos lados a e b que formam o ângulo widehat C:
De

Passo 6

Como todas essas expressões representam a mesma área De, igualamos as quantidades dentro do fator ½ e obtemos:
bc,sinwidehat A = ca,sinwidehat B = ab,sinwidehat C
Dividindo todos os termos por abc, chega-mos à relação desejada.

Resposta

sinwidehat Aa = sinwidehat Bb = sinwidehat Cc

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