Determine as seguintes integrais:
integral0^1 x^2 raiz(x^3+1)^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de . A matéria envolve cálculo de integrais, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Sabemos que integral0^1 x^2 (x^3 + 1)^3/2 , dx . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição. Vamos definir du = 3x^2 , dx Rightarrow du3 = x^2 , dx . Para encontrar , derivamos em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integralu(0)^u(1) ( du3 ) u^3/2
Calculando os novos limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 5

Agora a integral fica:
13 integral1^2 u^3/2 , du

Passo 6

Vamos calcular a antiderivada de integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2 . A regra é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
13 cdot 25 [ u^5/2 ]1^2 = 215 [ 2^5/2 - 1^5/2 ]

Passo 8

Calculando os valores:
2^5/2 = (2^1/2)^5 = (raiz2)^5 = 4raiz2
1^5/2 = 1

Passo 9

Substituindo:
215 ( 4raiz2 - 1 ) = 8raiz2 - 215

Resposta

A integral vale .

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