Determine as seguintes integrais:
integral-pi / 2^pi / 2 cos x4+sin x d x

Passo 1

Então, a gente precisa resolver a integral definida de no intervalo de até . Isso está na área de cálculo, mais especificamente em integrais. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
u = 4 + sin x
Agora, derivamos du = cos x , dx em relação a para encontrar :
Perceba que o numerador da nossa integral, , é exatamente . Isso vai simplificar bastante as coisas!

Passo 3

Com a substituição feita, nossa integral fica:
integral cos x4 + sin x , dx = integral duu
Essa é uma integral bem conhecida que resulta no logaritmo natural de .

Passo 4

Integrando, temos:
integral duu = ln |u| + C
Onde é a constante de integração. Mas como nossa integral é definida, vamos calcular os limites substituindo de volta.

Passo 5

Voltando para a variável original ln |4 + sin x| , substituímos [ ln (4 + sin x) ]-pi2^pi2 = ln (4 + sin(pi2)) - ln (4 + sin(-pi2)) :
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de a :

Passo 6

Sabemos que ln (4 + 1) - ln (4 - 1) = ln 5 - ln 3 e ln(53) , então substituindo:
Usando propriedades dos logaritmos, isso é igual a:

Resposta

A integral definida é igual a .

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