Determine as seguintes integrais:
Passo 1
Então, a gente precisa resolver a integral definida de
no intervalo de
até
. Isso está na área de cálculo, mais especificamente em integrais. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Perceba que o numerador da nossa integral,
, é exatamente
. Isso vai simplificar bastante as coisas!
Passo 3
Com a substituição feita, nossa integral fica:
Essa é uma integral bem conhecida que resulta no logaritmo natural de
.
Passo 4
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração. Mas como nossa integral é definida, vamos calcular os limites substituindo
de volta.
Passo 5
Voltando para a variável original
, substituímos
:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
a
:
Passo 6
Sabemos que
e
, então substituindo:
Usando propriedades dos logaritmos, isso é igual a:
Resposta
A integral definida é igual a
.