Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y e^yx^4+y^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x y e^yx^4+y^4
Aqui, estamos lidando com limite de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites multivariáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que $ e^{y} $ pode ser aproximado por sua série de Taylor quando $ y $ está próximo de 0:
e^y
Então, a expressão fica:
y
Como $ y $ tende a 0, $ y^{4} $ também tende a 0, e termos de ordem maior podem ser negligenciados. Portanto, a expressão simplifica para:
e^y approx 1 + y

Passo 3

Para analisar o limite, vamos testar diferentes caminhos que $ (x, y) $ pode seguir para chegar a $ (0,0) $.
Caminho 1: $ y = kx $, onde $ k $ é uma constante.
Substituindo $ y = kx $ na expressão:
(x, y)
À medida que $ x $ tende a 0, o denominador $ x^{2} $ tende a 0, fazendo com que toda a expressão tenda a infinito.
Caminho 2: $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na expressão:
(0,0)
Aqui, o limite é 0.

Passo 4

Vimos que ao escolher diferentes caminhos para $ (x, y) $ se aproximarem de $ (0,0) $, obtemos resultados diferentes: no primeiro caso, o limite tende a infinito, e no segundo, tende a 0. Isso indica que o limite depende do caminho escolhido.

Passo 5

Quando o limite de uma função de várias variáveis depende do caminho escolhido, dizemos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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