Verifique que $y_{1}(t)=t^{2} \mathrm{e} $ e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Depois mostre que
também é solução dessa equação quaisquer que sejam
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
valida para
, e pede para verificar que
e
são soluções, além de mostrar que qualquer combinação
também o é. Vamos usar o fato de que a equação é linear e homogênea.
Passo 2
Para
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
logo
satisfaz a equação.
Passo 3
Para
, calculamos:
Substituindo:
logo
também é solução.
Passo 4
Como a equação é linear homogênea, vale o princípio da superposição: qualquer combinação linear
é igualmente solução para quaisquer constantes
.
Resposta
A combinação geral das soluções é
.