Verifique que $y_{1}(t)=t^{2} \mathrm{e} $ e y1(t)=t^2 e são duas soluções da equação diferencial y2(t)=t^1 para t^2 y^prime prime-2 y=0. Depois mostre que t>0 também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 t^2+c2 t^-1 e c1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
t^2y''-2y=0,
valida para t>0, e pede para verificar que y1(t)=t^2 e y2(t)=t^-1 são soluções, além de mostrar que qualquer combinação c1t^2+c2t^-1 também o é. Vamos usar o fato de que a equação é linear e homogênea.

Passo 2

Para y1(t)=t^2, calculamos as derivadas:
y1'(t)=2t,
y1''(t)=2
Substituindo na equação:
t^2igl(y1''(t)r)-2y1(t)=t^2cdot2-2cdot t^2=2t^2-2t^2=0, 
logo y1(t) satisfaz a equação.

Passo 3

Para y2(t)=t^-1, calculamos:
y2'(t)=-t^-2,
y2''(t)=2t^-3
Substituindo:
t^2cdot y2''(t)-2y2(t)=t^2cdot2t^-3-2cdot t^-1=2t^-1-2t^-1=0,
logo y2(t) também é solução.

Passo 4

Como a equação é linear homogênea, vale o princípio da superposição: qualquer combinação linear
y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)=c1t^2+c2t^-1
é igualmente solução para quaisquer constantes c1,c2.

Resposta

A combinação geral das soluções é y(t)=c1t^2+c2t^-1.

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