Descreva e esboce as superfícies:
x=y^2 (cilindro parabólico)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever e esboçar a superfície definida pela equação $ x = y^{2} $, que é conhecida como um cilindro parabólico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies no espaço tridimensional e como identificar esse tipo específico de cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação $ x = y^{2} $. Nessa equação, $ x $ está relacionado ao quadrado de $ y $, e não há nenhum termo envolvendo $ z $. Isso significa que, independentemente do valor de $ z $, a relação entre $ x $ e $ y $ sempre seguirá essa equação. Basicamente, para cada valor de $ z $, temos uma parábola no plano $ xy $.

Passo 3

Como $ z $ não está presente na equação, ele pode assumir qualquer valor real. Isso indica que a superfície se estende infinitamente ao longo do eixo $ z $, formando assim um cilindro. Mas, diferente dos cilindros circulares que têm círculos como seções transversais, aqui temos parábolas. Por isso, chamamos de cilindro parabólico.

Passo 4

Para esboçar essa superfície, podemos seguir alguns passos simples:
  1. Desenhar a parábola no plano $ xy $: A equação $ x = y^{2} $ representa uma parábola que abre para o lado positivo do eixo $ x $.
  2. Estender essa parábola ao longo do eixo $ z $: Como $ z $ pode ser qualquer valor, imaginamos múltiplas réplicas dessa parábola empilhadas ao longo do eixo $ z $.
  3. Visualizar o resultado: O resultado é uma superfície que parece uma “mola” infinita, onde cada “volta” é uma parábola.

Passo 5

Para entender melhor, pense que cada corte paralelo ao plano $ xy $ vai mostrar sempre a mesma parábola $ x = y^{2} $, mas deslocada em diferentes posições ao longo do eixo $ z $. Isso cria uma superfície contínua sem curvaturas no sentido do eixo $ z $, confirmando que é um cilindro.

Resposta

A superfície definida por $ x = y^{2} $ é um cilindro parabólico, onde uma parábola no plano $ xy $ é estendida infinitamente ao longo do eixo $ z $, formando uma estrutura semelhante a uma “mola” infinita com parábolas empilhadas verticalmente.

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