Descreva e esboce as superfícies:
(cilindro elíptico)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra descrever e desenhar uma superfície matemática definida pela equação $ y^{2} + 4 z^{2} = 4 $. Esse tipo de equação está relacionada a um cilindro elíptico. Então, pra resolver isso, vamos precisar entender como as equações definem superfícies no espaço 3D e usar um pouco de geometria analítica pra esboçar essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação $ y^{2} + 4 z^{2} = 4 $. Essa equação envolve apenas as variáveis $ y $ e $ z $, o que significa que a superfície não depende de $ x $. Quando uma equação não depende de uma das coordenadas, isso geralmente indica que a superfície é um cilindro estendido ao longo do eixo correspondente. No nosso caso, como a equação não tem $ x $, o cilindro se estende ao longo do eixo $ x $.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte $ y^{2} + 4 z^{2} = 4 $. Essa é a equação de uma elipse no plano $ yz $. Para visualizar melhor, podemos dividir toda a equação por 4 para deixá-la na forma padrão da elipse:
Aqui, vemos que o denominador sob $ y^{2} $ é 4 e o sob $ z^{2} $ é 1. Isso nos diz que o semi-eixo maior da elipse é 2 (porque $ \sqrt{4} = 2 $) na direção de $ y $, e o semi-eixo menor é 1 na direção de $ z $.
Passo 4
Como a elipse está no plano $ yz $ e a equação não depende de $ x $, o cilindro elíptico é formado ao deslocar essa elipse ao longo do eixo $ x $. Ou seja, em cada valor de $ x $, temos a mesma elipse $ y^{2} + 4 z^{2} = 4 $.
Passo 5
Para esboçar a superfície, imagine uma elipse com semi-eixos 2 e 1 no plano $ yz $. Agora, pegue essa elipse e estique ela paralelamente ao eixo $ x $. O resultado será um cilindro que se estende indefinidamente nas direções positivas e negativas de $ x $, mantendo a forma da elipse em todas as seções.
Resposta
A superfície $ y^{2} + 4 z^{2} = 4 $ é um cilindro elíptico que se estende ao longo do eixo $ x $. Ele é formado por elipses no plano $ yz $ com semi-eixos de 2 unidades na direção $ y $ e 1 unidade na direção $ z $, e se mantém constante para todos os valores de $ x $.