Descreva e esboce as superfícies:
z=4-x^2 (cilindro parabólico)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descrever e esboçar a superfície definida pela equação $ z = 4 - x^{2} $. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos analisar a equação, entender que tipo de superfície ela representa e como podemos desenhá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação $ z = 4 - x^{2} $. Aqui, $ z $ depende apenas de $ x $, o que nos dá uma pista importante: essa é uma superfície do tipo cilindro parabólico. Mas o que isso significa?
Um cilindro parabólico é uma superfície que tem uma parábola como sua base e se estende infinitamente em uma direção perpendicular a essa base. No caso dessa equação, a parábola é definida em relação aos eixos $ x $ e $ z $, e o cilindro se estende ao longo do eixo $ y $.

Passo 3

Para visualizar isso, vamos fixar valores de $ y $ e ver como a superfície se comporta. Como a equação não envolve $ y $, para qualquer valor de $ y $, a equação $ z = 4 - x^{2} $ permanece a mesma. Isso significa que a parábola $ z = 4 - x^{2} $ é repetida ao longo de todo o eixo $ y $, criando o cilindro.

Passo 4

Agora, vamos pensar em como esboçar essa superfície. Primeiro, desenhamos a parábola $ z = 4 - x^{2} $ no plano $ xz $. Essa parábola abre para baixo, com o vértice no ponto $ (0, 4) $. Em seguida, como a superfície se estende ao longo do eixo $ y $, desenhamos linhas paralelas ao eixo $ y $ a partir de cada ponto da parábola. Isso cria um cilindro que se parece com uma “tenda” parabólica estendida no espaço.

Passo 5

Para ter uma ideia melhor, imagine que você está olhando para a parábola de frente no plano $ xz $. Agora, imagine que essa forma se estende para fora e para dentro ao longo do eixo $ y $, sem nenhuma mudança na sua forma. Esse é o cilindro parabólico definido pela equação $ z = 4 - x^{2} $.

Resposta

A superfície $ z = 4 - x^{2} $ é um cilindro parabólico que tem uma parábola como base no plano $ xz $ e se estende infinitamente ao longo do eixo $ y $. No esboço, desenhamos a parábola $ z = 4 - x^{2} $ e a estendemos paralelamente ao eixo $ y $ para representar toda a superfície.

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