Determinar as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos e discuta a natureza das superfícies:
x^2+16 y^2+z^2-4 x-32 y=5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro, os comprimentos dos semi-eixos e classificar a superfície dada pela equação x^2+16y^2+z^2-4x-32y=5. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas (elipsoide, hipersuperfícies) e vamos precisar usar o método de completar quadrados para colocar a equação em sua forma padrão.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x e em y:
Para x:
x^2-4x=(x-2)^2-4
Para y:
16y^2-32y=16l(y^2-2yr)=16l((y-1)^2-1r)=16(y-1)^2-16
Em z não há termo linear, então z^2 permanece.

Passo 3

Substituindo na equação original temos:
(x-2)^2-4 + 16(y-1)^2-16 + z^2 = 5
Agrupando constantes:
(x-2)^2+16(y-1)^2+z^2 = 5 + 4 + 16 = 25
Agora dividimos tudo por 25 para obter a forma canônica:
$$
\frac{(x-2)^{2}}{25}
+
\frac{16(y-1)^{2}}{25}
+
\frac{z^{2}}{25}
=1
(x-2)^225 + 16(y-1)^225 + z^225 =1
\frac{(x-2){2}}{5{2}}
+
\frac{(y-1){2}}{(5/4){2}}
+
\frac{z{2}}{5{2}}
=1
$$

Passo 4

Da forma canônica vemos que o centro é dado pelas translações x-2, y-1 e z-0, ou seja, o ponto (2,1,0). Os denominadores mostram os quadrados dos semi-eixos:
  • semi-eixo em x: a=5
  • semi-eixo em y: b=5/4
  • semi-eixo em z: c=5
    Como todos os termos são positivos e a soma é 1, a superfície é um elipsoide fechado.

Passo 5

Relembrando a teoria: completar quadrados centraliza a superfície e mostra diretamente o tipo de quadriculada pelo sinal dos termos. Aqui, três termos positivos dão um elipsoide.

Resposta

Centro: (2,1,0); semi-eixos de comprimentos 5, 5/4 e 5; natureza: elipsoide.

Exercícios relacionados