Determinar as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos e discuta a natureza das superfícies:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro, os comprimentos dos semi-eixos e classificar a superfície dada pela equação
. O conteúdo é estudo de superfícies quádricas (elipsoide, hipersuperfícies) e vamos precisar usar o método de completar quadrados para colocar a equação em sua forma padrão.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
e em
:
Para :
Para
Para
:
Em
não há termo linear, então
permanece.
Passo 3
Substituindo na equação original temos:
Agrupando constantes:
Agora dividimos tudo por 25 para obter a forma canônica:
$$
\frac{(x-2)^{2}}{25}
+
\frac{16(y-1)^{2}}{25}
+
\frac{z^{2}}{25}
=1
+
\frac{16(y-1)^{2}}{25}
+
\frac{z^{2}}{25}
=1
\frac{(x-2){2}}{5{2}}
+
\frac{(y-1){2}}{(5/4){2}}
+
\frac{z{2}}{5{2}}
=1
+
\frac{(y-1){2}}{(5/4){2}}
+
\frac{z{2}}{5{2}}
=1
$$
Passo 4
Da forma canônica vemos que o centro é dado pelas translações
,
e
, ou seja, o ponto
. Os denominadores mostram os quadrados dos semi-eixos:
- semi-eixo em
: - semi-eixo em
: - semi-eixo em
:
Como todos os termos são positivos e a soma é 1, a superfície é um elipsoide fechado.
Passo 5
Relembrando a teoria: completar quadrados centraliza a superfície e mostra diretamente o tipo de quadriculada pelo sinal dos termos. Aqui, três termos positivos dão um elipsoide.
Resposta
Centro: (2,1,0); semi-eixos de comprimentos 5, 5/4 e 5; natureza: elipsoide.