Determine os vetores normal, binormal, curvatura e a torção de r(t)=(cos t, sent, t).

Passo 1

Nesse exercício vamos trabalhar com a hélice
r(t)=(cos t,,sin t,,t)
do conteúdo de curvas no espaço, aplicando as fórmulas de Frenet–Serret para achar a normal principal, a binormal, a curvatura e a torção. Precisamos calcular as derivadas de r(t) e usar as definições de T,N,B,kappa,tau.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas e o vetor tangente unitário. Temos
r'(t)=(-sin t,,cos t,,1),
r''(t)=(-cos t,,-sin t,,0),
r'''(t)=(sin t,,-cos t,,0)
A velocidade é
v(t)=|r'(t)|=raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2
Logo o versor tangente é
T(t)=r'(t)v(t)=1raiz2(-sin t,,cos t,,1)

Passo 3

Para achar a curvatura usamos
kappa=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3
Calculando o produto vetorial
r'(t)times r''(t)=(sin t,,-cos t,,1)
e sua norma é raiz2. Assim
kappa=raiz2(raiz2)^3=12

Passo 4

A normal principal é dada por
N(t)=T'(t)|T'(t)|
Derivando
T'(t)=1raiz2(-cos t,,-sin t,,0)
e |T'(t)|=1/raiz2, então
N(t)=(-cos t,,-sin t,,0)

Passo 5

A binormal é
B(t)=T(t)times N(t)=1raiz2(sin t,,-cos t,,1)

Passo 6

Para a torção usamos
tau=(r'(t)times r''(t))cdot r'''(t)|r'(t)times r''(t)|^2
Como (r'times r'')cdot r'''=1 e |r'times r''|^2=2, obtemos
tau=12

Resposta

Normal principal: N(t)=(-cos t, -sin t, 0)
Binormal: B(t)=tfrac1raiz2(sin t, -cos t, 1)
Curvatura: kappa=tfrac12
Torção: tau=tfrac12

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