Perdas de Pacotes em um Canal de Comunicação Sem Fio. Em um sistema de telecomunicações sem fio, pacotes de dados são enviados de um transmissor para um receptor. Devido à interferência e ao ruído no canal, nem todos os pacotes são recebidos corretamente. A variável aleatória discreta X representa o número de pacotes perdidos em uma sequência de 5 pacotes enviados.
A equipe de engenharia observou, após diversos testes, que a distribuição de X é dada por:
\boldsymbol{x}
( pacotesperdidos )
0 1 2 3 4 5
\boldsymbol{P}(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
(a) Verifique se a função dada é uma função de distribuição de probabilidade ( f d p ) válida. ???
(b) Determine a função de distribuição acumulada (f d a) F(x)=P(X \leq x).???
(c) Calcule: P(X \leq 2) \quad 0,6 \quad P(X>3) \quad 0,2 \quad P(1 \leq X \leq 4) \quad 0,8
(d) Interprete o valor de F(2) no contexto do problema.
\boldsymbol{F}(\mathbf{2})=\mathbf{0}, \mathbf{6} significa que há uma probabilidade de \mathbf{6 0} \% de que o número de pacotes perdidos em uma sequência de 5 pacotes seja no máximo 2 . Em termos práticos: em 60 \% dos envios, 2 ou menos pacotes são perdidos, o que pode ser considerado um bom desempenho do canal dependendo do nível de tolerância a falhas do sistema.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e os dados fornecidos estão explícitos na tabela. Vou listar tudo para ficar claro:
  • Perguntas:
    (a) Verificar se a função dada é uma função de distribuição de probabilidade (fdp) válida.
    (b) Determinar a função de distribuição acumulada (fda) F(x)=P(X\le x).
    (c) Calcular P(X\le 2), P(X>3) e P(1\le X\le 4).
    (d) Interpretar o valor de F(2) no contexto do problema.
  • Informações fornecidas (retirei da tabela do enunciado):
    \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline P(X=x) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,1 & 0,1 \end{array}

Passo 2

O que é exigir para uma função ser uma fdp (função massa de probabilidade) discreta? Vou explicar de forma didática:
  • Definição e propriedades básicas:
    • Uma fdp p(x)=P(X=x) para variável discreta deve satisfazer duas condições:
      1. Não-negatividade: para todo valor possível x, p(x)\ge 0.
      2. Soma das probabilidades igual a 1: \sum_{x} p(x)=1.
    Aqui, cada probabilidade dada é um número não negativo. Mostro explicitamente:
    P(X=0)=0,1,\quad P(X=1)=0,2,\quad P(X=2)=0,3,\quad P(X=3)=0,2,\quad P(X=4)=0,1,\quad P(X=5)=0,1.
    Todos esses são maiores ou iguais a zero, então a primeira condição (não-negatividade) está satisfeita.

Passo 3

Agora verifico a segunda condição (soma das probabilidades). Vou somar as probabilidades uma a uma, passo a passo, para você ver como fazer na prova sem calculadora (soma simples em coluna mental):
  • Primeiro some os primeiros dois termos: 0,1+0,2=0,3.
  • Acrescente o terceiro termo: 0,3+0,3=0,6.
  • Acrescente o quarto termo: 0,6+0,2=0,8.
  • Acrescente o quinto termo: 0,8+0,1=0,9.
  • Acrescente o sexto termo: 0,9+0,1=1,0.
Portanto a soma total é
0,1+0,2+0,3+0,2+0,1+0,1=1,0.

Passo 4

Resumo da verificação da fdp e explicação prática (sem repetir a resposta final): como todas as probabilidades são não negativas e a soma é 1,0, a lista de probabilidades satisfaz as condições formais para ser uma fdp válida. (A conclusão final concisa será colocada no campo de resposta.)
Agora vou ensinar como construir a função de distribuição acumulada (fda) F(x) para uma variável discreta.

Passo 5

Definição e método para calcular F(x):
  • Definição: para variável discreta X,
    F(x)=P(X\le x)=\sum_{k:\,k\le x}P(X=k).
    Ou seja, para cada valor de x você soma todas as probabilidades de X que sejam menores ou iguais a x.
  • Como aplicar aqui (valores relevantes): já que X só assume os valores \{0,1,2,3,4,5\}, basta calcular as somas acumuladas em cada ponto inteiro. Vou mostrar cada soma acumulada explicitamente.

Passo 6

Cálculo de F(x) nos pontos de interesse (soma acumulada passo a passo):
  • Para x<0: nenhum valor de X é menor ou igual a x, então
    F(x)=0\quad\text{para }x<0.
  • Para 0\le x<1: inclui apenas X=0,
    F(x)=P(X\le 0)=P(X=0)=0,1.
  • Para 1\le x<2: inclui X=0 e X=1,
    F(x)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,1+0,2=0,3.
  • Para 2\le x<3: inclui X=0,1,2,
    F(x)=P(X\le 2)=0,1+0,2+0,3=0,6.
  • Para 3\le x<4: inclui X=0,1,2,3,
    F(x)=P(X\le 3)=0,6+0,2=0,8.
  • Para 4\le x<5: inclui X=0,1,2,3,4,
    F(x)=P(X\le 4)=0,8+0,1=0,9.
  • Para x\ge 5: inclui todos os valores 0 a 5,
    F(x)=P(X\le 5)=1,0.

Passo 7

Cálculos pedidos em (c) usando tanto a fdp quanto a fda (mostro duas formas, vendo a relação com F):
  • Para P(X\le 2): pelo cálculo acumulado acima temos
    P(X\le 2)=F(2)=0,6.
  • Para P(X>3): usamos a relação P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-F(3). Já calculamos F(3)=0,8, então
    P(X>3)=1-0,8=0,2.
    Alternativamente, somando probabilidades diretas P(X=4)+P(X=5)=0,1+0,1=0,2.
  • Para P(1\le X\le 4): usamos P(1\le X\le 4)=F(4)-F(0).
    Calculamos F(4)=0,9 e F(0)=0,1, então
    P(1\le X\le 4)=0,9-0,1=0,8.
    Ou somando diretamente 0,2+0,3+0,2+0,1=0,8.

Passo 8

Interpretação didática de F(2) (parte (d)):
  • O valor F(2)=0,6 significa que a probabilidade de ocorrer no máximo 2 pacotes perdidos na sequência de 5 pacotes é 0,6, isto é, 60\%.
  • Em palavras: em 60\% das sequências de 5 pacotes enviadas, espera-se que sejam perdidos até 2 pacotes (ou seja, 0, 1 ou 2 perdas). Isso é uma medida de desempenho do canal — quanto maior F(2), mais frequentemente o canal perde poucos pacotes.

Resposta

(a) Sim; a função é uma fdp válida pois todos os P(X=x)\ge 0\) e \(\sum_{x=0}^{5}P(X=x)=1,0\). (b) \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 0,1, & 0\le x<1,\\[4pt] 0,3, & 1\le x<2,\\[4pt] 0,6, & 2\le x<3,\\[4pt] 0,8, & 3\le x<4,\\[4pt] 0,9, & 4\le x<5,\\[4pt] 1,0, & x\ge 5. \end{cases}
(c) P(X\le 2)=0,6\] \(P(X>3)=0,2
P(1\le X\le 4)=0,8
(d) F(2)=0,6 significa que há 60\% de probabilidade de que, numa sequência de 5 pacotes, sejam perdidos no máximo 2 pacotes (isto é, 0, 1 ou 2 perdas).]

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