Perdas de Pacotes em um Canal de Comunicação Sem Fio. Em um sistema de telecomunicações sem fio, pacotes de dados são enviados de um transmissor para um receptor. Devido à interferência e ao ruído no canal, nem todos os pacotes são recebidos corretamente. A variável aleatória discreta X representa o número de pacotes perdidos em uma sequência de 5 pacotes enviados.
A equipe de engenharia observou, após diversos testes, que a distribuição de
é dada por:
pacotesperdidos
0
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
(a) Verifique se a função dada é uma função de distribuição de probabilidade (
) válida. ???
(b) Determine a função de distribuição acumulada
.???
(c) Calcule:
(d) Interprete o valor de
no contexto do problema.
significa que há uma probabilidade de
de que o número de pacotes perdidos em uma sequência de 5 pacotes seja no máximo 2 . Em termos práticos: em
dos envios, 2 ou menos pacotes são perdidos, o que pode ser considerado um bom desempenho do canal dependendo do nível de tolerância a falhas do sistema.
A equipe de engenharia observou, após diversos testes, que a distribuição de
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
|
|
0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
(b) Determine a função de distribuição acumulada
(c) Calcule:
(d) Interprete o valor de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e os dados fornecidos estão explícitos na tabela. Vou listar tudo para ficar claro:
-
Perguntas:
(a) Verificar se a função dada é uma função de distribuição de probabilidade (fdp) válida.
(b) Determinar a função de distribuição acumulada (fda).
(c) Calcular, e .
(d) Interpretar o valor deno contexto do problema. -
Informações fornecidas (retirei da tabela do enunciado):
Passo 2
O que é exigir para uma função ser uma fdp (função massa de probabilidade) discreta? Vou explicar de forma didática:
-
Definição e propriedades básicas:
- Uma fdp
para variável discreta deve satisfazer duas condições: - Não-negatividade: para todo valor possível
, . - Soma das probabilidades igual a
: .
- Não-negatividade: para todo valor possível
Aqui, cada probabilidade dada é um número não negativo. Mostro explicitamente:Todos esses são maiores ou iguais a zero, então a primeira condição (não-negatividade) está satisfeita. - Uma fdp
Passo 3
Agora verifico a segunda condição (soma das probabilidades). Vou somar as probabilidades uma a uma, passo a passo, para você ver como fazer na prova sem calculadora (soma simples em coluna mental):
- Primeiro some os primeiros dois termos:
- Acrescente o terceiro termo:
- Acrescente o quarto termo:
- Acrescente o quinto termo:
- Acrescente o sexto termo:
Portanto a soma total é
Passo 4
Resumo da verificação da fdp e explicação prática (sem repetir a resposta final): como todas as probabilidades são não negativas e a soma é
, a lista de probabilidades satisfaz as condições formais para ser uma fdp válida. (A conclusão final concisa será colocada no campo de resposta.)
Agora vou ensinar como construir a função de distribuição acumulada (fda)
para uma variável discreta.
Passo 5
Definição e método para calcular
:
-
Definição: para variável discreta
, Ou seja, para cada valor devocê soma todas as probabilidades de que sejam menores ou iguais a . -
Como aplicar aqui (valores relevantes): já que
só assume os valores , basta calcular as somas acumuladas em cada ponto inteiro. Vou mostrar cada soma acumulada explicitamente.
Passo 6
Cálculo de
nos pontos de interesse (soma acumulada passo a passo):
-
Para
: nenhum valor de é menor ou igual a , então -
Para
: inclui apenas , -
Para
: inclui e , -
Para
: inclui , -
Para
: inclui , -
Para
: inclui , -
Para
: inclui todos os valores a ,
Passo 7
Cálculos pedidos em (c) usando tanto a fdp quanto a fda (mostro duas formas, vendo a relação com
):
-
Para
: pelo cálculo acumulado acima temos -
Para
: usamos a relação . Já calculamos , então Alternativamente, somando probabilidades diretas. -
Para
: usamos .
Calculamose , então Ou somando diretamente.
Passo 8
Interpretação didática de
(parte (d)):
- O valor
significa que a probabilidade de ocorrer no máximo pacotes perdidos na sequência de pacotes é , isto é, . - Em palavras: em
das sequências de pacotes enviadas, espera-se que sejam perdidos até pacotes (ou seja, , ou perdas). Isso é uma medida de desempenho do canal — quanto maior , mais frequentemente o canal perde poucos pacotes.
Resposta
(a) Sim; a função é uma fdp válida pois todos os
(c)
(d) significa que há
de probabilidade de que, numa sequência de
pacotes, sejam perdidos no máximo
pacotes (isto é,
,
ou
perdas).]
(d)