Descreva o espaço vetorial das soluções do seguinte sistema linear:
c x+y+2 z=0 2 x+2 y+5 z+3 w=0 4 x+4 y+10 z+3 w=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o espaço vetorial das soluções do sistema
x + y + 2z = 0, 2x + 2y + 5z + 3w = 0, 4x + 4y + 10z + 3w = 0,
ou seja, queremos a forma paramétrica das soluções em R^4. Para isso vamos usar eliminação de Gauss e depois descrever o subespaço resultante, determinando base e dimensão.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos eliminação:
[cccc|c 1 & 1 & 2 & 0 & 0 2 & 2 & 5 & 3 & 0 4 & 4 & 10 & 3 & 0 ] ;xrightarrowR2-2R1,;R3-4R1; [cccc|c 1 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 ] ;xrightarrowR3-2R2; [cccc|c 1 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & -3 & 0 ]

Passo 3

Da última linha tiramos
-3,w = 0;Longrightarrow;w=0
Da segunda linha, com w=0:
z + 3w = 0;Longrightarrow;z=0
E da primeira linha, com z=0:
x + y + 2cdot0 = 0;Longrightarrow;y = -x

Passo 4

Só sobra uma variável livre, que chamamos de parâmetro t. Tomando
x = t, y = -t, z = 0, w = 0,
o vetor solução genérico é
(x,y,z,w) = (t,,-t,,0,,0) = t,(1,-1,0,0)

Resposta

O espaço das soluções é
(t,-t,0,0)mid tinR =span(1,-1,0,0),
ou seja, uma reta em R^4 gerada por (1,-1,0,0).

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