Exercício 2
Ache todas as distribuições u in D^prime(R) que resolvem a equação abaixo:
d^2 ud x^2=de<a0
em que de<a0(phi):=phi(0), para todo phi in Cc^infty(R).

Passo 1

O problema pede todas as distribuições uinD'(R) tais que
d^2udx^2 ;=;de<a0,
onde de<a0 é a distribuição de Dirac em 0. Para resolver, vamos usar que em D' a derivada u' é definida por
u'(phi) = -,u(phi')forallphiin Cc^infty(R),
e que a equação diferencial linear tem solução geral dada pela soma de uma solução particular mais a solução geral da homogênea.

Passo 2

Primeiro tratamos a homogênea
d^2uhdx^2 = 0
Em distribuições, isso implica que uh é uma distribuição cujo gráfico é uma reta, ou seja
uh(x) = C1 x + C2,
com C1,C2inR, pois polinômios de grau <=1 têm segunda derivada zero.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular up de
d^2updx^2 = de<a0
Repare que a função lvert xrvert (vista como distribuição) satisfaz
ddxlvert xrvert = sgn(x) e ddx,sgn(x) = 2,de<a0
Logo,
d^2dx^2,lvert xrvert = 2,de<a0

Passo 4

Para ajustar o fator 2 e obter de<a0, basta definir
up(x) = 12,lvert xrvert
De fato,
d^2dx^2,up = 12;d^2dx^2,lvert xrvert = 12cdot 2,de<a0 = de<a0

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é
u(x) ;=; uh(x) + up(x) ;=; C1,x + C2 + 12,lvert xrvert,
com C1,C2inR livres.

Resposta

Todas as distribuições uinD'(R) que resolvem ;u''=de<a0 são
boxedu(x) = C1,x + C2 + 12,lvert xrvert, C1,C2inR

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