Exercício 2
Ache todas as distribuições
que resolvem a equação abaixo:
em que
, para todo
.
Ache todas as distribuições
Passo 1
O problema pede todas as distribuições
tais que
onde
é a distribuição de Dirac em
. Para resolver, vamos usar que em
a derivada
é definida por
e que a equação diferencial linear tem solução geral dada pela soma de uma solução particular mais a solução geral da homogênea.
Passo 2
Primeiro tratamos a homogênea
Em distribuições, isso implica que
é uma distribuição cujo gráfico é uma reta, ou seja
com
, pois polinômios de grau
têm segunda derivada zero.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de
Repare que a função
(vista como distribuição) satisfaz
Logo,
Passo 4
Para ajustar o fator
e obter
, basta definir
De fato,
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é
com
livres.
Resposta
Todas as distribuições
que resolvem
são