Suponha que estejam definidas as seguintes operações no conjunto V=(a, b) in R^2 : a cdot b>0:
(a, b) oplus(c, d)=(a c, b d), forall(a, b),(c, d) in V
alpha(a b)=(a^alpha, b^alpha), forall alpha in R e forall(a, b) in V.
Prove que V, munido dessas operações, é um espaço R - espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (a,b)inR^2 mid acdot b>0
com as operações
(a,b)oplus(c,d) = (a,c,;b,d), alpha,(a,b) = l(a^alpha,,b^alphar),
para todo alphainR e (a,b),(c,d)in V.
Queremos provar que V, com essas operações, é um espaço vetorial real, ou seja, que satisfaz todos os axiomas de um R-espaço vetorial.

Passo 2

Verificamos que (V,oplus) é um grupo abeliano.
  1. (Fechamento) Se (a,b),(c,d)in V, então a,b>0 e c,d>0. Logo
(a,c),(b,d) = (a,b),(c,d) > 0,
logo (a,c,b,d)in V.
2. (Comutatividade)
(a,b)oplus(c,d) = (a,c,b,d) = (c,a,d,b) = (c,d)oplus(a,b)
  1. (Associatividade)
l((a,b)oplus(c,d)r)oplus(e,f) = (a,c,b,d)oplus(e,f) = (a,c,e,;b,d,f)
e
(a,b)oplusl((c,d)oplus(e,f)r) = (a,b)oplus(c,e,d,f) = (a,c,e,;b,d,f)
  1. (Identidade) O elemento neutro é (1,1), pois
(a,b)oplus(1,1) = (acdot1,;bcdot1) = (a,b)
Note que 1cdot1>0, então (1,1)in V.
5. (Inverso) Dado (a,b)in V, como a,b>0 implica aneq0 e bneq0, definimos
(a,b)^-1 = l(tfrac1a,;tfrac1br),
e de fato
(a,b)oplusl(tfrac1a,tfrac1br) = l(acdottfrac1a,;bcdottfrac1br) = (1,1)
Além disso tfrac1acdottfrac1b = tfrac1a,b>0, logo o inverso está em V.

Passo 3

Agora checamos as propriedades de multiplicação por escalar. Seja alpha,betainR e (a,b),(c,d)in V.
  1. (Fechamento) Como a,b>0 ou a,b<0 mas com a,b>0, a potência a^alpha e b^alpha são positivas, logo
a^alpha,b^alpha = (a,b)^alpha > 0,
isto é, alpha,(a,b)in V.
2. (Compatibilidade de escalares)
(alphabeta),(a,b) = l(a^alphabeta,,b^alphabetar)
e
alphal(beta,(a,b)r) = alphal(a^beta,b^betar) = l((a^beta)^alpha,,(b^beta)^alphar) = l(a^betaalpha,,b^betaalphar)
Como betaalpha=alphabeta, estas duas expressões coincidem.
3. (Elemento unitário)
1,(a,b) = l(a^1,b^1r) = (a,b)
  1. (Distributividade em relação à soma de vetores)
alphal((a,b)oplus(c,d)r) = alpha,(a,c,;b,d) = l((a,c)^alpha,(b,d)^alphar) = l(a^alphac^alpha,,b^alphad^alphar) = l(a^alpha,b^alphar)oplusl(c^alpha,d^alphar)
alphal((a,b)oplus(c,d)r) = alpha(a,b)oplusalpha(c,d)
  1. (Distributividade em relação à soma de escalares)
(alpha+beta),(a,b) = l(a^alpha+beta,,b^alpha+betar) = l(a^alphaa^beta,,b^alphab^betar) = l(a^alpha,b^alphar)oplusl(a^beta,b^betar)
(alpha+beta),(a,b) = alpha(a,b)oplusbeta(a,b)

Resposta

Como todas as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que l(V,oplus,cdotr) é de fato um R-espaço vetorial.

Exercícios relacionados