Suponha que estejam definidas as seguintes operações no conjunto
:
e
.
Prove que
, munido dessas operações, é um espaço
- espaço vetorial.
Prove que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
para todo
e
.
Queremos provar que , com essas operações, é um espaço vetorial real, ou seja, que satisfaz todos os axiomas de um
-espaço vetorial.
Queremos provar que
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano.
- (Fechamento) Se
, então e . Logo
logo
.
2. (Comutatividade)
2. (Comutatividade)
- (Associatividade)
e
- (Identidade) O elemento neutro é
, pois
Note que
, então
.
5. (Inverso) Dado , como
implica
e
, definimos
5. (Inverso) Dado
e de fato
Além disso
, logo o inverso está em
.
Passo 3
Agora checamos as propriedades de multiplicação por escalar. Seja
e
.
- (Fechamento) Como
ou mas com , a potência e são positivas, logo
isto é,
.
2. (Compatibilidade de escalares)
2. (Compatibilidade de escalares)
e
Como
, estas duas expressões coincidem.
3. (Elemento unitário)
3. (Elemento unitário)
- (Distributividade em relação à soma de vetores)
- (Distributividade em relação à soma de escalares)
Resposta
Como todas as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que
é de fato um
-espaço vetorial.