Exercício 2
Mostre que:
em que
, para todo
.
Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no sentido das distribuições em
,
onde para toda
definimos
Vamos usar a definição de derivada de distribuição e integração por partes.
Passo 2
Se
é a distribuição dada por
então sua derivada
age em
por
Passo 3
Para tratar a descontinuidade em
, introduzimos um corte simétrico e escrevemos
Passo 4
Fazemos integração por partes em cada intervalo
e
. Por exemplo, em
:
Passo 5
Como
tem suporte compacto,
quando
. Logo os termos em infinito desaparecem. O mesmo vale em
com
. Assim os únicos termos de contorno são
levando a
Passo 6
Como
é
,
,
e . Logo
e
quando
.
Passo 7
Portanto sobra apenas