Descreva e faça um esboço da hipérbole dada pela equação, identificando seus vértices e assíntotas.
(g) x^{2}=9 y^{2}+9.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a hipérbole dada por
x^{2}=9y^{2}+9,
identificando seus vértices e suas assíntotas. Vamos reconhecer que se trata de uma hipérbole centrada na origem, com eixo transverso paralelo ao eixo x.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma canônica de hipérbole do tipo “ x-transversal”:
x^{2}-9y^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{1}=1.

Passo 3

Da forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
vemos que a^{2}=9 e b^{2}=1. Logo
a=3,\quad b=1,
o centro é (0,0) e os vértices estão em
(\pm a,0)=(\pm 3,\,0).

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbole com eixo em x são dadas por
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Substituindo a=3 e b=1, obtemos
y=\pm\frac{1}{3}\,x.

Passo 5

No esboço, a hipérbole possui dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando por (3,0) e (-3,0), e aproximando-se das retas y=\tfrac{1}{3}x e y=-\tfrac{1}{3}x.

Resposta

Vértices: (3,0) e (-3,0)
Assíntotas: y=\tfrac{1}{3}x e y=-\tfrac{1}{3}x.

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