Descreva o que faz com que um fluido possa ser considerado incompressível e invíscido.

Passo 1

O enunciado pede para descrever as condições físicas e matemáticas que permitem tratar um fluido como incompressível e inviscídо. Esse é um tema de Mecânica dos Fluidos envolvendo aproximações que simplificam as equações de Navier–Stokes para as equações de Euler.

Passo 2

Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade \rho permanece (aproximadamente) constante durante o escoamento. Na forma geral da equação da massa,
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) = 0,
se \rho é constante pode-se tirar \rho fora da divergência, resultando em
\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.
Fisicamente, isso ocorre quando as variações de densidade são pequenas, o que geralmente requer números de Mach \mathrm{Ma}<0,3.

Passo 3

Um fluido é chamado inviscídо quando os efeitos da viscosidade interna são desprezíveis. Na equação de Navier–Stokes,
\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{u} + \rho\,\mathbf{g},
o termo \mu\,\nabla^2\mathbf{u} representa a tensão viscosa. Se a viscosidade \mu é muito pequena ou o número de Reynolds \mathrm{Re}=\tfrac{\rho U L}{\mu} é muito grande \mathrm{Re}\gg1, esse termo pode ser desprezado, reduzindo-se às equações de Euler.

Passo 4

Resumindo, para que possamos aproximar um fluido como incompressível e inviscídо simultaneamente, precisamos:
  1. Variações de densidade desprezíveis \mathrm{Ma}<0,3 \nabla\cdot\mathbf{u}=0.
  2. Efeitos viscosos desprezíveis \mathrm{Re}\gg1 ⇒ eliminar \mu\,\nabla^2\mathbf{u} das equações de movimento.

Resposta

Um fluido é considerado incompressível quando sua densidade é essencialmente constante de modo que \nabla\cdot\mathbf{u}=0 (situação típica de \mathrm{Ma}<0,3). Ele é considerado invíscido quando a viscosidade interna não tem influência no escoamento, ou seja, o número de Reynolds é grande \mathrm{Re}\gg1, permitindo descartar o termo viscoso e usar as equações de Euler.

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