Explique o que é translação, rotação, deformação angular e deformação linear para uma partícula fluida e determine se essas propriedades estão ligadas à abordagem lagrangeana ou euleriana.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos quatro modos de movimento de um elemento infinitesimal de fluido — translação, rotação, deformação linear e deformação angular — e dizer se eles são propriedades ligadas à abordagem Lagrangeana ou Euleriana. O conteúdo aqui é cinemática de fluidos, em particular a decomposição do gradiente de velocidades em partes que representam movimento rígido e deformação.
Passo 2
A translação de um elemento fluido é o movimento de corpo rígido sem qualquer rotação nem deformação interna. Se
é o campo de velocidade, a translação corresponde ao próprio vetor
no ponto considerado, isto é, deslocar todo o elemento à mesma velocidade. Esse conceito é comum às duas descrições, mas sua quantificação instantânea é feita diretamente pelo valor de
no ponto, característica da abordagem Euleriana.
Passo 3
A rotação de um elemento fluido é o movimento de corpo rígido em torno de um eixo, sem alterar formas ou tamanhos internos. Cinematicamente, ela vem da parte antissimétrica do tensor gradiente de velocidades
cuja parte antissimétrica é
O vetor de rotação (duas vezes a velocidade angular) é dado pela vorticidade
Esse cálculo envolve derivadas espaciais de
, portanto é típico da abordagem Euleriana.
Passo 4
A deformação linear (ou extensional) mede as variações de comprimento dos eixos principais do elemento fluido. Ela corresponde às componentes diagonais do tensor simétrico de taxa de deformação
Em particular,
(soma não repetida) está ligada à variação de volume ou à taxa de expansão/contração ao longo das direções principais. Novamente, envolve o gradiente de velocidades e, portanto, é característico da abordagem Euleriana.
Passo 5
A deformação angular (ou taxa de cisalhamento) mede as variações dos ângulos retos entre direções iniciais do elemento fluido. Ela corresponde às componentes não diagonais do mesmo tensor simétrico
com
. Essas componentes alteram o formato em formato de losango sem mudança de volume local. A obtenção de
exige derivadas espaciais de
, o que também é típico da abordagem Euleriana.
Passo 6
Em resumo, esses quatro modos de movimento de um elemento fluido (translação, rotação, deformação linear e deformação angular) são conceitos físicos relativos a partículas fluídas (Lagrangeano), mas sua quantificação instantânea e separação em partes rígidas e deformativas se faz por meio do campo de velocidades e seu gradiente, ou seja, pela abordagem Euleriana.
Resposta
Translação: deslocamento rígido de todo o elemento pela velocidade
, quantificado Eulerianamente.
Rotação: parte antissimétrica do gradiente de velocidades ou vorticidade
, Euleriana.
Deformação linear: componentes diagonais do tensor simétrico , extensional, Euleriana.
Deformação angular: componentes off-diagonais de , cisalhamento, Euleriana.
Rotação: parte antissimétrica do gradiente de velocidades
Deformação linear: componentes diagonais do tensor simétrico
Deformação angular: componentes off-diagonais de