Explique o que é translação, rotação, deformação angular e deformação linear para uma partícula fluida e determine se essas propriedades estão ligadas à abordagem lagrangeana ou euleriana.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos quatro modos de movimento de um elemento infinitesimal de fluido — translação, rotação, deformação linear e deformação angular — e dizer se eles são propriedades ligadas à abordagem Lagrangeana ou Euleriana. O conteúdo aqui é cinemática de fluidos, em particular a decomposição do gradiente de velocidades em partes que representam movimento rígido e deformação.

Passo 2

A translação de um elemento fluido é o movimento de corpo rígido sem qualquer rotação nem deformação interna. Se \mathbf{v}(\mathbf{x},t) é o campo de velocidade, a translação corresponde ao próprio vetor \mathbf{v} no ponto considerado, isto é, deslocar todo o elemento à mesma velocidade. Esse conceito é comum às duas descrições, mas sua quantificação instantânea é feita diretamente pelo valor de \mathbf{v} no ponto, característica da abordagem Euleriana.

Passo 3

A rotação de um elemento fluido é o movimento de corpo rígido em torno de um eixo, sem alterar formas ou tamanhos internos. Cinematicamente, ela vem da parte antissimétrica do tensor gradiente de velocidades
\nabla \mathbf{v}\;=\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\,,
cuja parte antissimétrica é
\Omega_{ij} = \tfrac12\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr).
O vetor de rotação (duas vezes a velocidade angular) é dado pela vorticidade
\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}.
Esse cálculo envolve derivadas espaciais de \mathbf{v}, portanto é típico da abordagem Euleriana.

Passo 4

A deformação linear (ou extensional) mede as variações de comprimento dos eixos principais do elemento fluido. Ela corresponde às componentes diagonais do tensor simétrico de taxa de deformação
D_{ij} = \tfrac12\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr).
Em particular, D_{ii} (soma não repetida) está ligada à variação de volume ou à taxa de expansão/contração ao longo das direções principais. Novamente, envolve o gradiente de velocidades e, portanto, é característico da abordagem Euleriana.

Passo 5

A deformação angular (ou taxa de cisalhamento) mede as variações dos ângulos retos entre direções iniciais do elemento fluido. Ela corresponde às componentes não diagonais do mesmo tensor simétrico D_{ij} com i\neq j. Essas componentes alteram o formato em formato de losango sem mudança de volume local. A obtenção de D_{ij} exige derivadas espaciais de \mathbf{v}, o que também é típico da abordagem Euleriana.

Passo 6

Em resumo, esses quatro modos de movimento de um elemento fluido (translação, rotação, deformação linear e deformação angular) são conceitos físicos relativos a partículas fluídas (Lagrangeano), mas sua quantificação instantânea e separação em partes rígidas e deformativas se faz por meio do campo de velocidades e seu gradiente, ou seja, pela abordagem Euleriana.

Resposta

Translação: deslocamento rígido de todo o elemento pela velocidade \mathbf{v}, quantificado Eulerianamente.
Rotação: parte antissimétrica do gradiente de velocidades \Omega_{ij} ou vorticidade \boldsymbol{\omega}, Euleriana.
Deformação linear: componentes diagonais do tensor simétrico D_{ij}, extensional, Euleriana.
Deformação angular: componentes off-diagonais de D_{ij}, cisalhamento, Euleriana.

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