A equação de Navier Stokes para um escoamento na direção x do sistema cartesiano é dada por:
\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+p g_{x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)
sendo u, v e w as componentes de velocidade nas direções x, y e z respectivamente; \rho a massa específica, \mu a viscosidade dinâmica, g_{x} a componente da gravidade na direção x e p a pressão. Considere um escoamento na direção x como sendo viscoso, incompressível, laminar e plenamente desenvolvido entre duas placas paralelas horizontais imóveis e separadas por uma distância vertical b na direção y. Com esses dados, simplifique a equação.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Navier–Stokes na direção x para um fluido viscoso, incompressível e laminar. Queremos simplificá-la assumindo escoamento unidirecional u\neq0, v=w=0, plenamente desenvolvido entre placas paralelas fixas separadas em y por b, sem variação em x nem em z, em regime permanente, sem componente de gravidade em x.

Passo 2

Em regime permanente, a derivada temporal anula-se:
\frac{\partial u}{\partial t}=0\,.

Passo 3

Como o escoamento é unidirecional, temos
v=0,\quad w=0
e, portanto, os termos convectivos em y e z desaparecem:
v\,\frac{\partial u}{\partial y}+w\,\frac{\partial u}{\partial z}=0\,.

Passo 4

Plenamente desenvolvido implica que o perfil de velocidade não varia ao longo de x:
\frac{\partial u}{\partial x}=0
e, assim, o termo convectivo u\,\partial u/\partial x também é nulo:
u\,\frac{\partial u}{\partial x}=0\,.

Passo 5

Não há variação em z nem em x para a velocidade, logo
\frac{\partial u}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0,\quad \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\,.

Passo 6

As placas são horizontais, de modo que a componente de gravidade em x vale zero:
g_x=0\,.

Passo 7

Substituindo essas simplificações na equação original
\rho\Bigl(0+0+0+0\Bigr) = -\frac{\partial p}{\partial x}+0 +\mu\Bigl(0+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+0\Bigr)
obtém-se
0=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\,.

Resposta

\mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial p}{\partial x}\,.

Exercícios relacionados