Descreva qual a forma de uma edo linear de primeira ordem, e como resolvê-la.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar a forma geral de uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem e explicar como resolvê-la usando método sistemático.

Passo 2

Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
dydx + p(x),y = q(x)
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x.

Passo 3

Para resolver, introduzimos o fator integrante mu(x), definido por
mu(x) = e^integral p(x),dx
Esse fator tem a propriedade de tornar o lado esquerdo da EDO a derivada de um produto.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x):
mu(x)dydx + mu(x)p(x),y = mu(x)q(x)
Como mu'(x)=p(x)mu(x), o lado esquerdo é
mu(x)dydx + mu'(x),y = ddxl(mu(x),yr)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
mu(x),y = integral mu(x),q(x),dx + C,
onde C é a constante de integração. Por fim, a solução geral é
y(x) = 1mu(x)l(integral mu(x),q(x),dx + Cr)

Resposta

A forma geral é y' + p(x)y = q(x) e a solução obtém-se definindo o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx, multiplicando a equação por mu(x), integrando e isolando y(x), resultando em
y(x)=1e^integral p(x),dxl(integral e^integral p(x),dx,q(x),dx + Cr)

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