Resolva as seguintes equações diferenciais quando exatas:
(5 y-2 x) d y-2 y d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial exata
(5y - 2x),dy - 2y,dx = 0. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas; precisamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar a condição de exatidão e encontrar a função potencial.

Passo 2

Reescrevemos no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Aqui temos
M(x,y) = -2y e N(x,y) = 5y - 2x.
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial M/partial y = -2 e partial N/partial x = -2.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = M = -2y e phiy = N = 5y - 2x.
Integrando phix = -2y em relação a x, obtemos
phi(x,y) = -2xy + h(y)
Depois diferenciamos em relação a y:
phiy = -2x + h'(y)stackrel!= 5y - 2x,
o que dá h'(y)=5y e, portanto, h(y)=tfrac52 y^2 + C.

Passo 4

A solução geral fica na forma implícita phi(x,y)=constante. Logo,
-2xy + 52 y^2 = C
Multiplicando por 2 para simplificar, chegamos a
5y^2 - 4xy = C'

Resposta

5y^2 - 4xy = C

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