Resolva as seguintes equações diferenciais quando exatas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial exata
. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas; precisamos identificar as funções
e
, verificar a condição de exatidão e encontrar a função potencial.
Passo 2
Reescrevemos no formato
. Aqui temos
e
.
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
e
.
Como são iguais, a equação é exata.
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
e
.
Integrando em relação a
, obtemos
Integrando
Depois diferenciamos em relação a
:
o que dá
e, portanto,
.
Passo 4
A solução geral fica na forma implícita
. Logo,
Multiplicando por 2 para simplificar, chegamos a
Resposta
5y^2 - 4xy = C