Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
(3 x^2 y+2 x y+y^3) d x+(x^2+y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial no formato M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, com
M(x,y)=3x^2y+2xy+y^3,
N(x,y)=x^2+y^2
O conteúdo é fator integrante para tornar a edO exata e depois verificar a exatidão.

Passo 2

Para ver se já é exata, calculamos
partial Mpartial y=3x^2+2x+3y^2,
partial Npartial x=2x
Como não são iguais, a EDO não é exata.

Passo 3

Usamos o teste para fator integrante que depende só de x:
partial M/partial y-partial N/partial xN= (3x^2+2x+3y^2)-(2x)x^2+y^2 =3x^2+3y^2x^2+y^2=3
Isso depende apenas de x (na verdade é constante), logo
mu(x)=e^integral 3,dx=e^3x

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(x)=e^3x e obtemos
M^*=e^3x(3x^2y+2xy+y^3),
N^*=e^3x(x^2+y^2)
Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y=e^3x(3x^2+2x+3y^2),
partial N^*partial x=e^3x(3(x^2+y^2)+2x)=e^3x(3x^2+3y^2+2x),
que conferem, então a EDO é exata.

Passo 5

Para resolver, integramos M^* em relação a x, tratando y como constante:
integral e^3x(3x^2y+2xy+y^3),dx =yintegral e^3x(3x^2+2x),dx+y^3integral e^3x,dx = y,x^2e^3x+y^33e^3x+h(y)
Derivando isso em relação a y e igualando a N^* leva a h'(y)=0, logo constante.

Passo 6

A solução implícita final fica
e^3xl(x^2y+y^33r)=C,
com C constante.

Resposta

O fator integrante é mu(x)=e^3x e a solução geral está dada por
e^3xl(x^2y+tfracy^33r)=C

Exercícios relacionados