Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial no formato
, com
O conteúdo é fator integrante para tornar a edO exata e depois verificar a exatidão.
Passo 2
Para ver se já é exata, calculamos
Como não são iguais, a EDO não é exata.
Passo 3
Usamos o teste para fator integrante que depende só de
:
Isso depende apenas de
(na verdade é constante), logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
e obtemos
Verificamos a exatidão:
que conferem, então a EDO é exata.
Passo 5
Para resolver, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Derivando isso em relação a
e igualando a
leva a
, logo constante.
Passo 6
A solução implícita final fica
com
constante.
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral está dada por