Descreva a forma da equação de Clairaut, e como resolvê-la.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a forma geral da equação de Clairaut e explicar como resolvê-la, ou seja, identificar sua estrutura, derivar a integral geral e encontrar também a solução singular (envelope). Vamos usar conceitos de derivação implícita e de envelopes de família de retas.

Passo 2

A equação de Clairaut tem a forma
y = x,p + f(p)
onde definimos p = dydx e f(p) é uma função suficientemente suave de p.

Passo 3

Para resolver, diferenciamos ambos os lados em relação a x. Como p depende de x, aplicamos a regra do produto e a cadeia:
dydx = p = ddxl(xpr) + ddxf(p) = p + xdpdx + f'(p)dpdx
Em seguida, isolamos termos envolvendo dpdx:
0 = xdpdx + f'(p)dpdx = l(x + f'(p)r)dpdx

Passo 4

A partir da fatoração surgem duas possibilidades que geram as duas soluções:
• Se dpdx=0, então p=C (constante). Substituindo em y = xp + f(p) temos a solução geral:
y = Cx + f(C),
que é uma família de retas de inclinação C.
• Se x + f'(p)=0, então definimos um parâmetro p que satisfaz x = -f'(p). Substituindo em y = xp + f(p) obtemos a solução singular (envelope):
x = -f'(p),
y = f(p) - p,f'(p)

Resposta

A equação de Clairaut é
y = x,y' + f(y'),
onde se define p=y'. Sua solução geral vem de p=constante, dando
y = Cx + f(C),
e a solução singular (envelope da família de retas) é dada parametricamente por
x = -f'(p),
y = f(p) - p,f'(p)

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