Descreva a forma da equação de Clairaut, e como resolvê-la.
Passo 1
O enunciado pede para descrever a forma geral da equação de Clairaut e explicar como resolvê-la, ou seja, identificar sua estrutura, derivar a integral geral e encontrar também a solução singular (envelope). Vamos usar conceitos de derivação implícita e de envelopes de família de retas.
Passo 2
A equação de Clairaut tem a forma
onde definimos
e
é uma função suficientemente suave de
.
Passo 3
Para resolver, diferenciamos ambos os lados em relação a
. Como
depende de
, aplicamos a regra do produto e a cadeia:
Em seguida, isolamos termos envolvendo
:
Passo 4
A partir da fatoração surgem duas possibilidades que geram as duas soluções:
• Se , então
(constante). Substituindo em
temos a solução geral:
• Se
que é uma família de retas de inclinação
.
• Se , então definimos um parâmetro
que satisfaz
. Substituindo em
obtemos a solução singular (envelope):
• Se
Resposta
A equação de Clairaut é
onde se define
. Sua solução geral vem de
constante, dando
e a solução singular (envelope da família de retas) é dada parametricamente por