Resolva as equações de Ricatti:
d yd x=6+5 y+y^2, y1=1

Passo 1

Nesse exercício temos uma equação diferencial do tipo Riccati que, nesse caso particular, é separável porque \ dydx=y^2+5y+6. Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para resolver. Matéria: EDOs de primeira ordem, separação de variáveis.

Passo 2

Começamos escrevendo a separação de variáveis:
\ $\frac{dy}{(y+2)(y+3)} = dx$
Para integrar, decompondo em frações parciais:
\ $\frac{1}{(y+2)(y+3)} = \frac{1}{y+2} - \frac{1}{y+3}$
Agora integramos ambos os lados:
\ $\int \Bigl(\frac{1}{y+2}-\frac{1}{y+3}\Bigr) dy = \int dx$

Passo 3

Isso nos dá
\ $\ln|y+2| - \ln|y+3| = x + C$
Passamos para a forma exponencial:
\ $\frac{y+2}{y+3} = A e^x, \quad A = e^C$
E isolamos ln|y+2| - ln|y+3| = x + C:
\ y+2y+3 = A e^x, A = e^C

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=1:
Substituindo x=1 e y=1 em $y=\frac{3A e^x - 2}{1 - A e^x}$ obtemos
\ $1 = \frac{3A e - 2}{1 - A e} \implies 1 - A e = 3A e - 2 \implies 3 = 4A e \implies A = \frac{3}{4e}$

Passo 5

Por fim, substituímos A na solução geral e simplificamos:
\ $y(x) = \frac{3(\tfrac{3}{4e}) e^x - 2}{1 - (\tfrac{3}{4e}) e^x} = \frac{9e^x - 8e}{4e - 3e^x}$

Resposta

$y(x)=\frac{9e^x - 8e}{4e - 3e^x}$

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