Resolva as equações de Ricatti:
Passo 1
Nesse exercício temos uma equação diferencial do tipo Riccati que, nesse caso particular, é separável porque \
. Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para resolver. Matéria: EDOs de primeira ordem, separação de variáveis.
Passo 2
Começamos escrevendo a separação de variáveis:
\ $\frac{dy}{(y+2)(y+3)} = dx$
Para integrar, decompondo em frações parciais:
\ $\frac{1}{(y+2)(y+3)} = \frac{1}{y+2} - \frac{1}{y+3}$
Agora integramos ambos os lados:
\ $\int \Bigl(\frac{1}{y+2}-\frac{1}{y+3}\Bigr) dy = \int dx$
\ $\frac{dy}{(y+2)(y+3)} = dx$
Para integrar, decompondo em frações parciais:
\ $\frac{1}{(y+2)(y+3)} = \frac{1}{y+2} - \frac{1}{y+3}$
Agora integramos ambos os lados:
\ $\int \Bigl(\frac{1}{y+2}-\frac{1}{y+3}\Bigr) dy = \int dx$
Passo 3
Isso nos dá
\ $\ln|y+2| - \ln|y+3| = x + C$
Passamos para a forma exponencial:
\ $\frac{y+2}{y+3} = A e^x, \quad A = e^C$
E isolamos :
\
\ $\ln|y+2| - \ln|y+3| = x + C$
Passamos para a forma exponencial:
\ $\frac{y+2}{y+3} = A e^x, \quad A = e^C$
E isolamos
\
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial
:
Substituindo e
em $y=\frac{3A e^x - 2}{1 - A e^x}$ obtemos
\ $1 = \frac{3A e - 2}{1 - A e} \implies 1 - A e = 3A e - 2 \implies 3 = 4A e \implies A = \frac{3}{4e}$
Substituindo
\ $1 = \frac{3A e - 2}{1 - A e} \implies 1 - A e = 3A e - 2 \implies 3 = 4A e \implies A = \frac{3}{4e}$
Passo 5
Por fim, substituímos
na solução geral e simplificamos:
\ $y(x) = \frac{3(\tfrac{3}{4e}) e^x - 2}{1 - (\tfrac{3}{4e}) e^x} = \frac{9e^x - 8e}{4e - 3e^x}$
\ $y(x) = \frac{3(\tfrac{3}{4e}) e^x - 2}{1 - (\tfrac{3}{4e}) e^x} = \frac{9e^x - 8e}{4e - 3e^x}$
Resposta
$y(x)=\frac{9e^x - 8e}{4e - 3e^x}$