Uma máquina está programada para encher garrafas de refrigerante com uma média de 900 ml . O gerente da fábrica assegura que a quantidade de refrigerante colocada nas garrafas é uma variável que está distribuída normalmente em torno da média de 900 ml e com desvio padrão igual a 8 ml . Com base nessas informações do gerente deseja-se saber:
Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml ?
Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A quantidade de refrigerante por garrafa é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
ml e desvio padrão ml (peguei esses números do enunciado). - A pergunta é: “Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml?” — ou seja, queremos calcular
, onde é o volume preenchido por uma garrafa.
Passo 2
O que significa dizer que
é normalmente distribuída? Vou explicar devagar e com calma.
- Quando dizemos
, queremos dizer que a densidade de probabilidade de tem o formato de sino (curva normal) centrada em e espalhada segundo . - Aqui isso é
.
Nem tudo precisa ser memorizado agora: para calcular probabilidades do tipousamos a padronização (transformar numa variável normal padrão), porque as tabelas/recursos conhecem só a normal padrão.
Passo 3
Padronização: transformar
em uma variável
que tem média
e desvio padrão
. A fórmula é
Aqui:
-
é a variável original (volume em ml), -
é a média ( ml), -
é o desvio padrão ( ml), -
é a normal padrão .
Ao padronizar, eventos do tipo
viram eventos do tipo
para algum
.
Passo 4
Calcular o valor
correspondente a
:
Expliquei a conta:
e
. Logo
Passo 5
Agora usar propriedades da normal padrão:
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é
. - Como a normal é simétrica em torno de zero,
para . Assim
Passo 6
Consultar tabela da normal padrão (ou usar calculadora/pc). O valor padrão para
é aproximadamente
(valor que aparece na tabela padrão).
Portanto
Portanto
Passo 7
Interpretação e formato final:
- Em forma decimal a probabilidade é
. - Em forma percentual isso é
.
Ou seja, é muito raro achar uma garrafa com menos deml — cerca de 6 em cada 1000 garrafas.