Uma máquina está programada para encher garrafas de refrigerante com uma média de 900 ml . O gerente da fábrica assegura que a quantidade de refrigerante colocada nas garrafas é uma variável que está distribuída normalmente em torno da média de 900 ml e com desvio padrão igual a 8 ml . Com base nessas informações do gerente deseja-se saber:
Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A quantidade de refrigerante por garrafa é uma variável aleatória normalmente distribuída com média \mu = 900 ml e desvio padrão \sigma = 8 ml (peguei esses números do enunciado).
  • A pergunta é: “Qual é a probabilidade de encontrarmos garrafas com menos de 880 ml?” — ou seja, queremos calcular \mathbb{P}(X < 880), onde X é o volume preenchido por uma garrafa.

Passo 2

O que significa dizer que X é normalmente distribuída? Vou explicar devagar e com calma.
  • Quando dizemos X \sim N(\mu,\sigma^2), queremos dizer que a densidade de probabilidade de X tem o formato de sino (curva normal) centrada em \mu e espalhada segundo \sigma.
  • Aqui isso é X \sim N(900,8^2).
    Nem tudo precisa ser memorizado agora: para calcular probabilidades do tipo \mathbb{P}(X < a) usamos a padronização (transformar X numa variável normal padrão), porque as tabelas/recursos conhecem só a normal padrão.

Passo 3

Padronização: transformar X em uma variável Z que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (volume em ml),
  • \mu é a média ( 900 ml),
  • \sigma é o desvio padrão ( 8 ml),
  • Z é a normal padrão N(0,1).
Ao padronizar, eventos do tipo X<880 viram eventos do tipo Z<z para algum z.

Passo 4

Calcular o valor z correspondente a X=880:
z=\frac{880-900}{8}=\frac{-20}{8}=-2,5.
Expliquei a conta: 880-900=-20 e -20/8=-2{,}5. Logo
\mathbb{P}(X<880)=\mathbb{P}\!\left(Z<-2{,}5\right).

Passo 5

Agora usar propriedades da normal padrão:
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(t)=\mathbb{P}(Z\le t).
  • Como a normal é simétrica em torno de zero, \Phi(-t)=1-\Phi(t) para t>0. Assim
\mathbb{P}(Z<-2{,}5)=\Phi(-2{,}5)=1-\Phi(2{,}5).

Passo 6

Consultar tabela da normal padrão (ou usar calculadora/pc). O valor padrão para
\Phi(2{,}5) é aproximadamente 0{,}9938 (valor que aparece na tabela padrão).
Portanto
\mathbb{P}(Z<-2{,}5)=1-0{,}9938=0{,}0062.

Passo 7

Interpretação e formato final:
  • Em forma decimal a probabilidade é \;0{,}0062.
  • Em forma percentual isso é \;0{,}62\%.
    Ou seja, é muito raro achar uma garrafa com menos de 880 ml — cerca de 6 em cada 1000 garrafas.

Resposta

0{,}0062 (aproximadamente), isto é, 0{,}62\%.

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