Descreva geometricamente o efeito da transformação f(z)=i / z. Justifique por que f leva círculos e retas em círculos e retas. Expresse um exemplo concreto de círculo que é levado em reta.

Passo 1

A questão pede para entendermos geometricamente a transformação de Möbius f(z)=i/z, justificar por que ela leva círculos e retas em círculos ou retas e dar um exemplo concreto de um círculo mapeado em reta. Para isso, vamos usar propriedades de inversão no círculo unitário e de rotação no plano complexo.

Passo 2

Observe que podemos escrever a transformação como a composição de duas operações simples: primeiro zmapsto1/z, que é a inversão no círculo unitário (mais conjugação, se quisermos pensar em 1/z=overline z/|z|^2); em seguida, multiplicamos por i, o que equivale a uma rotação de +90^circ no plano. Ambas as operações — inversão e rotação — são transformações de Möbius que preservam o conjunto de círculos e retas (geralized circles).
Como consequência, a composição f(z)=icdot(1/z) também leva qualquer círculo ou reta estendida em outro círculo ou reta estendida. A inversão sozinha mapeia círculos (que não passam pela origem) em círculos e retas (se passarem pela origem) em retas, e a rotação só muda a orientação, sem alterar o fato de ser círculo ou reta.

Passo 3

Para dar um exemplo concreto, considere o círculo que passa pela origem, |z-1|=1Como ele passa por z=0, sua imagem por inversão será uma reta. De fato, definindo w=f(z)=i/z, temos
|z-1|=1iff l|iw-1r|=1iff |i-w|=|w|

Passo 4

A condição |i-w|=|w| descreve o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 0 e de i, ou seja, a reta perpendicular ao segmento de 0 a i passando pelo ponto médio i/2. Em coordenadas, isso é
Im(w)=tfrac12

Resposta

A transformação f(z)=i/z é a composição da inversão no círculo unitário com uma rotação de +90^circ, o que garante que círculos e retas sejam levados em círculos ou retas. Por exemplo, o círculo |z-1|=1, que passa pela origem, é levado na reta Im(w)=1/2.

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