Descreva geometricamente o efeito da transformação . Justifique por que leva círculos e retas em círculos e retas. Expresse um exemplo concreto de círculo que é levado em reta.
Passo 1
A questão pede para entendermos geometricamente a transformação de Möbius , justificar por que ela leva círculos e retas em círculos ou retas e dar um exemplo concreto de um círculo mapeado em reta. Para isso, vamos usar propriedades de inversão no círculo unitário e de rotação no plano complexo.
Passo 2
Observe que podemos escrever a transformação como a composição de duas operações simples: primeiro , que é a inversão no círculo unitário (mais conjugação, se quisermos pensar em ); em seguida, multiplicamos por , o que equivale a uma rotação de no plano. Ambas as operações — inversão e rotação — são transformações de Möbius que preservam o conjunto de círculos e retas (geralized circles).
Como consequência, a composição também leva qualquer círculo ou reta estendida em outro círculo ou reta estendida. A inversão sozinha mapeia círculos (que não passam pela origem) em círculos e retas (se passarem pela origem) em retas, e a rotação só muda a orientação, sem alterar o fato de ser círculo ou reta.
Passo 3
Para dar um exemplo concreto, considere o círculo que passa pela origem,Como ele passa por , sua imagem por inversão será uma reta. De fato, definindo , temos
Passo 4
A condição |i-w|=|w| descreve o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 0 e de i, ou seja, a reta perpendicular ao segmento de 0 a i passando pelo ponto médio i/2. Em coordenadas, isso é
Im(w)=tfrac12
Resposta
A transformação f(z)=i/z é a composição da inversão no círculo unitário com uma rotação de +90^circ, o que garante que círculos e retas sejam levados em círculos ou retas. Por exemplo, o círculo |z-1|=1, que passa pela origem, é levado na reta Im(w)=1/2.