Descreva geometricamente a imagem do semiplano H=(x, y) in C ; y>0 pela transformação w=f(z)=(1+i) z. Esboce as regiões H e f(H). Descreva geometricamente o efeito da transformação f em um z in C visto como um vetor a partir da origem.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir como o semiplano superior H = {(x,y)∈ℂ ; y>0} é mapeado pela função linear w=f(z)=(1+i)z. Esse é um problema de transformação afim em ℂ, que se estuda vendo o efeito de multiplicar por um número complexo.

Passo 2

Para entender melhor, escrevemos z=x+iy e calculamos w:
w=f(z)=(1+i)(x+iy)=(x-y)+i(x+y)
Logo, se w=u+iv, temos u=x−y e v=x+y.

Passo 3

A fronteira de H é a reta y=0. Se y=0, então u=x e v=x, de modo que
v=u
Portanto a reta y=0 (eixo real) em z vira a reta v=u no plano w.

Passo 4

Para ver de que lado da reta v=u fica f(H), observamos que y>0 implica v−u=2y>0, isto é,
v>u
Conclusão: f(H) = {w∈ℂ ; Im(w)>Re(w)}, ou seja, o semiplano acima da reta Im(w)=Re(w).

Passo 5

Geometricamente, multiplicar por 1+i é multiplicar por |1+i|=raiz2 e girar de arg(1+i)=π/4. Então cada vetor z é dilatado em √2 e rotacionado π/4 no sentido anti-horário.

Passo 6

Esboço das regiões:
• H é o semiplano acima do eixo real (reta y=0).
• f(H) é o semiplano acima da reta que faz 45° com o eixo real (reta Im(w)=Re(w)).

Resposta

f(H)=winC:Im(w)>Re(w), o semiplano acima da reta Im(w)=Re(w). A transformação f é uma rotação de pi/4 no sentido anti-horário seguida de uma dilatação de fator raiz2.

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