Descreva geometricamente a imagem do semiplano
pela transformação
. Esboce as regiões
e
. Descreva geometricamente o efeito da transformação
em um
visto como um vetor a partir da origem.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir como o semiplano superior H = {(x,y)∈ℂ ; y>0} é mapeado pela função linear w=f(z)=(1+i)z. Esse é um problema de transformação afim em ℂ, que se estuda vendo o efeito de multiplicar por um número complexo.
Passo 2
Para entender melhor, escrevemos z=x+iy e calculamos w:
Logo, se w=u+iv, temos u=x−y e v=x+y.
Passo 3
A fronteira de H é a reta y=0. Se y=0, então u=x e v=x, de modo que
Portanto a reta y=0 (eixo real) em z vira a reta v=u no plano w.
Passo 4
Para ver de que lado da reta v=u fica f(H), observamos que y>0 implica v−u=2y>0, isto é,
Conclusão: f(H) = {w∈ℂ ; Im(w)>Re(w)}, ou seja, o semiplano acima da reta Im(w)=Re(w).
Passo 5
Geometricamente, multiplicar por 1+i é multiplicar por
e girar de arg(1+i)=π/4. Então cada vetor z é dilatado em √2 e rotacionado π/4 no sentido anti-horário.
Passo 6
Esboço das regiões:
• H é o semiplano acima do eixo real (reta y=0).
• f(H) é o semiplano acima da reta que faz 45° com o eixo real (reta Im(w)=Re(w)).
• H é o semiplano acima do eixo real (reta y=0).
• f(H) é o semiplano acima da reta que faz 45° com o eixo real (reta Im(w)=Re(w)).