Descreva geometricamente a imagem da faixa
pela transformação
. Esboce as regiões
e
. Descreva geometricamente o efeito da transformação
em um
visto como um vetor a partir da origem.
Passo 1
Estamos com a faixa R definida por todos os pontos z=x+iy com 0<x<1 e queremos ver onde ela vai quando aplicamos f(z)=i
z. O conteúdo é transformações no plano complexo (rotações e bandas).
z. O conteúdo é transformações no plano complexo (rotações e bandas).
Passo 2
Escrevendo z como x+iy, temos:
Passo 3
Da expressão w=u+iv com u=-y e v=x vemos que a condição 0<x<1 em z vira 0<Im(w)<1. Não há restrição em y, logo u=-y varia livremente.
Concluímos que f® é a faixa horizontal no plano w entre as retas Im(w)=0 e Im(w)=1 (aberta).
Concluímos que f® é a faixa horizontal no plano w entre as retas Im(w)=0 e Im(w)=1 (aberta).
Passo 4
Para esboçar: R é a região entre as retas verticais x=0 e x=1; f® é a região entre as retas horizontais v=0 e v=1 (no plano w).
Geometricamente, multiplicar por i gira qualquer vetor z em 90° no sentido anti-horário sem mudar seu comprimento.
Geometricamente, multiplicar por i gira qualquer vetor z em 90° no sentido anti-horário sem mudar seu comprimento.
Resposta
A imagem f® é a banda horizontal {w\inℂ; 0<Im(w)<1}. A transformação f(z)=i z corresponde a uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem.