Descreva geometricamente e esboce os seguintes subconjuntos do espaço \mathbb{R}^{3} :
B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=-1\right. e \left.y=2\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: descrever geometricamente e esboçar o conjunto
\displaystyle B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=-1 \text{ e } y=2\}.
Informações dadas:
  • Há duas restrições explícitas: x=-1 e y=2.
  • Não há restrição sobre z (logo z pode ser qualquer número real).

Passo 2

Interpretação imediata das equações: como x está fixo em -1 e y está fixo em 2, a única coordenada que pode variar é z. Portanto todos os pontos de B têm a forma
(x,y,z)=(-1,2,z),\qquad z\in\mathbb{R}.
Isto já mostra que B é um conjunto unidimensional (uma reta), porque depende de um único parâmetro z.

Passo 3

Explicação geométrica via interseção de planos (ideia usada com frequência em prova):
  • A equação x=-1 descreve o plano paralelo ao plano yz (ou seja, um plano vertical) que está deslocado para x=-1. É o conjunto de todos os pontos com coordenada x igual a -1.
  • A equação y=2 descreve o plano paralelo ao plano xz, deslocado para y=2.
    A interseção de dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3 é uma reta. Como x=-1 e y=2 são planos distintos e não coincidentes, sua interseção é exatamente uma reta.

Passo 4

Escrevendo a reta de forma paramétrica e vetorial (útil em provas):
  • Forma paramétrica usando parâmetro t:
(x,y,z)=(-1,2,t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui t representa a coordenada z e percorre todos os reais.
  • Forma vetorial/afim:
\mathbf{r} = (-1,2,0) + t\,(0,0,1),\qquad t\in\mathbb{R},
onde (0,0,1) é o vetor diretor — isto mostra claramente que a reta é paralela ao eixo z.

Passo 5

Ilustrando com pontos concretos (útil para esboçar à mão):
  • Exemplos de pontos em B: (-1,2,0), (-1,2,1), (-1,2,-3).
  • Todos esses pontos têm mesma projeção no plano xy, que é o ponto (-1,2). Assim, a projeção de B no plano xy é um único ponto.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (dicas práticas para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe os três eixos coordenados x, y, z. Normalmente x para a direita, y para cima do plano da folha e z saindo/entrando (ou simplesmente use z vertical).
  2. Marque na projeção xy o ponto (-1,2) (vai ficar à esquerda em x e para cima em y).
  3. A partir desse ponto, trace uma linha reta paralela ao eixo z (vertical na representação) passando por (-1,2). Essa linha é o conjunto B.
  4. Indique algumas marcas com valores de z (por exemplo z=0,1,-1) para dar ideia de que a reta se estende infinitamente em ambas as direções.

Passo 7

Resumo das propriedades geométricas (úteis para entender e para a prova):
  • B é uma reta (subconjunto afim de dimensão 1) em \mathbb{R}^3.
  • Ela é a interseção dos planos \{x=-1\} e \{y=2\}.
  • É paralela ao eixo z e passa pelo ponto (-1,2,0).
  • É infinita em ambas as direções (não limitada).

Resposta

Reta paralela ao eixo z que passa por (-1,2,0); forma paramétrica (x,y,z)=(-1,2,t),\\ t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados