Descreva geometricamente e esboce os seguintes subconjuntos do espaço
:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: descrever geometricamente e esboçar o conjunto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há duas restrições explícitas:
e . - Não há restrição sobre
(logo pode ser qualquer número real).
Passo 2
Interpretação imediata das equações: como
está fixo em
e
está fixo em
, a única coordenada que pode variar é
. Portanto todos os pontos de
têm a forma
Isto já mostra que
é um conjunto unidimensional (uma reta), porque depende de um único parâmetro
.
Passo 3
Explicação geométrica via interseção de planos (ideia usada com frequência em prova):
- A equação
descreve o plano paralelo ao plano (ou seja, um plano vertical) que está deslocado para . É o conjunto de todos os pontos com coordenada igual a . - A equação
descreve o plano paralelo ao plano , deslocado para .
A interseção de dois planos não paralelos emé uma reta. Como e são planos distintos e não coincidentes, sua interseção é exatamente uma reta.
Passo 4
Escrevendo a reta de forma paramétrica e vetorial (útil em provas):
- Forma paramétrica usando parâmetro
:
Aqui
representa a coordenada
e percorre todos os reais.
- Forma vetorial/afim:
onde
é o vetor diretor — isto mostra claramente que a reta é paralela ao eixo
.
Passo 5
Ilustrando com pontos concretos (útil para esboçar à mão):
- Exemplos de pontos em
: , , . - Todos esses pontos têm mesma projeção no plano
, que é o ponto . Assim, a projeção de no plano é um único ponto.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (dicas práticas para a prova, sem calculadora):
- Desenhe os três eixos coordenados
, , . Normalmente para a direita, para cima do plano da folha e saindo/entrando (ou simplesmente use vertical). - Marque na projeção
o ponto (vai ficar à esquerda em e para cima em ). - A partir desse ponto, trace uma linha reta paralela ao eixo
(vertical na representação) passando por . Essa linha é o conjunto . - Indique algumas marcas com valores de
(por exemplo ) para dar ideia de que a reta se estende infinitamente em ambas as direções.
Passo 7
Resumo das propriedades geométricas (úteis para entender e para a prova):
-
é uma reta (subconjunto afim de dimensão 1) em . - Ela é a interseção dos planos
e . - É paralela ao eixo
e passa pelo ponto . - É infinita em ambas as direções (não limitada).
Resposta
Reta paralela ao eixo
que passa por
; forma paramétrica
.