Para as equações abaixo, complete os quadrados para identificar a cônica, encontre seu centro ou vértice, e esboce a região do plano que satisfaz a inequação associada:
y \geq x^{2}-6 x+5

Passo 1

O enunciado dá a inequação
y \geq x^{2}-6x+5
O que pede:
  • completar o quadrado para identificar a cônica;
  • encontrar o centro (se houver) ou o vértice;
  • esboçar (descrever) a região do plano que satisfaz a inequação associada.
Informações relevantes fornecidas:
  • a expressão do lado direito é um polinômio quadrático em x: x^{2}-6x+5;
  • a inequação pede todos os pontos (x,y) no plano com y maior ou igual a esse polinômio.

Passo 2

Começo explicando passo a passo como completar o quadrado. A técnica de completar o quadrado transforma uma expressão quadrática x^{2}+bx+c numa forma (x-h)^{2}+k. O objetivo é escrever a parábola no “forma de vértice” y=(x-h)^{2}+k, porque daí já lemos o vértice (h,k) direto.
Regra prática: para x^{2}+bx, adicione e subtraia \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} dentro da expressão.
Aplicando a x^{2}-6x+5:
x^{2}-6x+5 = \bigl(x^{2}-6x\bigr)+5.
Tomamos b=-6. Então \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{-6}{2}\right)^{2}=(-3)^{2}=9.
Agora adicionamos e subtraímos 9:
x^{2}-6x+5 = \bigl(x^{2}-6x+9\bigr)+5-9.
O termo dentro do parêntese é um quadrado perfeito:
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Logo
x^{2}-6x+5=(x-3)^{2}-4.

Passo 3

Interpretação da forma obtida. A inequação fica
y \geq (x-3)^{2}-4.
Explicando o que essa forma diz (aula curta):
  • Uma equação do tipo y=(x-h)^{2}+k representa uma parábola vertical (abertura para cima se o coeficiente de (x-h)^{2} for positivo, para baixo se for negativo).
  • O vértice da parábola é precisamente o ponto (h,k).
  • A linha de simetria é x=h.
Aqui temos h=3 e k=-4. Portanto:
  • a cônica é uma parábola que abre para cima (coeficiente de (x-3)^{2} é +1);
  • o vértice é (3,-4);
  • o eixo de simetria é a reta x=3.
Observação adicional (útil na prova): podemos também encontrar os pontos onde a parábola corta os eixos:
  • intercepto em y (quando x=0): y=(0-3)^{2}-4=9-4=5 \Rightarrow ponto (0,5).
  • interceptos em x (quando y=0): resolver (x-3)^{2}-4=0 (x-3)^{2}=4 x-3=\pm2 x=1 ou x=5. Pontos (1,0) e (5,0).
Se quiser saber foco e diretriz (não pedido, mas bom saber): escrevendo (x-3)^{2}=y+4 vemos que (x-3)^{2}=4p(y+4) com 4p=1, logo p=\tfrac{1}{4}. O foco é \bigl(3,-4+\tfrac{1}{4}\bigr)=(3,-\tfrac{15}{4}) e a diretriz é y=-4-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{17}{4}.

Passo 4

Agora explico como esboçar a região y \geq (x-3)^{2}-4 e como raciocinar na prova para desenhar rápido:
  1. Comece marcando o vértice (3,-4). É o ponto mais baixo da parábola (porque ela abre para cima).
  2. Marque o eixo de simetria x=3.
  3. Marque alguns pontos conhecidos para dar “forma”:
  • x=3 y=-4 (vértice).
  • x=2 y=(2-3)^{2}-4=1-4=-3 → ponto (2,-3).
  • x=4 y=-3 → ponto (4,-3).
  • x=1 e x=5 y=0 → pontos (1,0),(5,0).
  • x=0 y=5 → ponto (0,5).
  1. Ligue esses pontos com uma curva em “U” suave, simétrica em relação a x=3.
  2. A inequação pede y maior ou igual ao valor da parábola, ou seja, a região no plano que está por cima da parábola (incluindo a própria parábola). Em termos de sombreamento: pinta-se a região acima da curva, a partir do vértice indo para cima indefinidamente.
Dica de prova: se for pedido decidir se um ponto (x_0,y_0) pertence à região, calcule y_0 e compare com (x_0-3)^{2}-4; se y_0 \ge (x_0-3)^{2}-4 então pertence.

Passo 5

Resumo didático final (para gravar na cabeça antes da prova):
  • Completar o quadrado transforma x^{2}-6x+5 em (x-3)^{2}-4.
  • Isso identifica uma parábola vertical com vértice em (3,-4) e eixo x=3.
  • A região y \ge x^{2}-6x+5 é a região do plano acima (e sobre) dessa parábola, ou seja
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y \ge (x-3)^{2}-4\}.

Resposta

Parábola que abre para cima.
Vértice: (3,-4).
Região: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y \ge (x-3)^{2}-4\}.

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