Para as equações abaixo, complete os quadrados para identificar a cônica, encontre seu centro ou vértice, e esboce a região do plano que satisfaz a inequação associada:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
O que pede:
- completar o quadrado para identificar a cônica;
- encontrar o centro (se houver) ou o vértice;
- esboçar (descrever) a região do plano que satisfaz a inequação associada.
Informações relevantes fornecidas:
- a expressão do lado direito é um polinômio quadrático em
: ; - a inequação pede todos os pontos
no plano com maior ou igual a esse polinômio.
Passo 2
Começo explicando passo a passo como completar o quadrado. A técnica de completar o quadrado transforma uma expressão quadrática
numa forma
. O objetivo é escrever a parábola no “forma de vértice”
, porque daí já lemos o vértice
direto.
Regra prática: para
, adicione e subtraia
dentro da expressão.
Aplicando a
:
Tomamos
. Então
.
Agora adicionamos e subtraímos 9:
Agora adicionamos e subtraímos 9:
O termo dentro do parêntese é um quadrado perfeito:
Logo
Passo 3
Interpretação da forma obtida. A inequação fica
Explicando o que essa forma diz (aula curta):
- Uma equação do tipo
representa uma parábola vertical (abertura para cima se o coeficiente de for positivo, para baixo se for negativo). - O vértice da parábola é precisamente o ponto
. - A linha de simetria é
.
Aqui temos
e
. Portanto:
- a cônica é uma parábola que abre para cima (coeficiente de
é ); - o vértice é
; - o eixo de simetria é a reta
.
Observação adicional (útil na prova): podemos também encontrar os pontos onde a parábola corta os eixos:
- intercepto em
(quando ): ponto . - interceptos em
(quando ): resolver → → → ou . Pontos e .
Se quiser saber foco e diretriz (não pedido, mas bom saber): escrevendo
vemos que
com
, logo
. O foco é
e a diretriz é
.
Passo 4
Agora explico como esboçar a região
e como raciocinar na prova para desenhar rápido:
-
Comece marcando o vértice
. É o ponto mais baixo da parábola (porque ela abre para cima). -
Marque o eixo de simetria
. -
Marque alguns pontos conhecidos para dar “forma”:
-
→ (vértice). -
→ → ponto . -
→ → ponto . -
e → → pontos . -
→ → ponto .
-
Ligue esses pontos com uma curva em “U” suave, simétrica em relação a
. -
A inequação pede
maior ou igual ao valor da parábola, ou seja, a região no plano que está por cima da parábola (incluindo a própria parábola). Em termos de sombreamento: pinta-se a região acima da curva, a partir do vértice indo para cima indefinidamente.
Dica de prova: se for pedido decidir se um ponto
pertence à região, calcule
e compare com
; se
então pertence.
Passo 5
Resumo didático final (para gravar na cabeça antes da prova):
- Completar o quadrado transforma
em . - Isso identifica uma parábola vertical com vértice em
e eixo . - A região
é a região do plano acima (e sobre) dessa parábola, ou seja
Resposta
Parábola que abre para cima.
Vértice: .
Região: .
Vértice:
Região: