(1 pt)(B) Verifique que a curva parametrizada por x=2 t, y=t^2-1, z=(1-t^2) / t para t>0 situa-se no plano x-y+z+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva dada por x=2t, y=t^2−1, z=(1−t^2)/t (t>0) está contida no plano x−y+z+1=0. O conteúdo envolvido é a verificação de que as coordenadas paramétricas satisfazem a equação do plano, bastando substituir e mostrar que para todo t>0 a expressão x−y+z+1 se anula.

Passo 2

Substituindo as parametrizações na equação do plano, temos
x - y + z + 1 = 2t - (t^2 - 1) + 1 - t^2t + 1 = -t^2 + 2t + 2 + 1 - t^2t
Colocando sobre denominador comum t, obtemos
x - y + z + 1 = -t^3 + t^2 + 2t + 1t
Como para t>0 o numerador −t^3 + t^2 + 2t + 1 não é identicamente zero, concluímos que x−y+z+1≠0. Logo, a curva não satisfaz a equação do plano para todo t>0.

Resposta

A curva não satisfaz x−y+z+1=0, portanto não está contida no plano dado.

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