Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(4) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a família de curvas dada por satisfaz a equação diferencial de primeira ordem , e em caso afirmativo, determinar o intervalo onde a solução está definida.
Passo 2
A partir de , derivamos implicitamente em relação a :
Logo,
.
Passo 3
Agora vamos montar o lado direito da EDO:
Queremos comparar isso com o lado esquerdo .
Passo 4
Impondo a igualdade
multiplicamos ambos os lados por x:
x^2=ct+c^24
Mas como também vale x^2=c(t+14c)=ct+14c^2, igualamos as duas formas:
ct+14c^2=ct+c^24
daí
14c^2=c^24Longrightarrow55c^2=0Longrightarrow c=0
Passo 5
Concluímos que a única escolha de c que torna a curva uma solução da equação diferencial é c=0. Nesse caso, x^2=0 e assim x(t)=0 identicamente. A solução trivial x(t)=0 está definida para todo tinR.
Resposta
A única solução dessa família é a trivial (c=0), ou seja, x(t)=0, definida em todo R.