Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(4) x^2(t)=c(t+14 c) ; x=2 t x^prime+x(x^prime)^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a família de curvas dada por x^2(t)=cl(t+14cr) satisfaz a equação diferencial de primeira ordem x=2t,x'+x,(x')^2, e em caso afirmativo, determinar o intervalo onde a solução está definida.

Passo 2

A partir de x^2=c(t+14c), derivamos implicitamente em relação a t:
2x,x'=c
Logo,
x'=c2x .

Passo 3

Agora vamos montar o lado direito da EDO:
2t,x'+x,(x')^2 =2tcdotc2x+xl(c2xr)^2 =ctx+c^24x =ct+tfracc^24x
Queremos comparar isso com o lado esquerdo x.

Passo 4

Impondo a igualdade
underbracexlado,esq=underbracect+tfracc^24xlado,dir
multiplicamos ambos os lados por x:
x^2=ct+c^24
Mas como também vale x^2=c(t+14c)=ct+14c^2, igualamos as duas formas:
ct+14c^2=ct+c^24
daí
14c^2=c^24Longrightarrow55c^2=0Longrightarrow c=0

Passo 5

Concluímos que a única escolha de c que torna a curva uma solução da equação diferencial é c=0. Nesse caso, x^2=0 e assim x(t)=0 identicamente. A solução trivial x(t)=0 está definida para todo tinR.

Resposta

A única solução dessa família é a trivial ( c=0), ou seja, x(t)=0, definida em todo R.

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