Descreva geometricamente a imagem da região R=(x, y) in C ; x>1 e y>0 pela transformação w=f(z)=1 / z. Esboce as regiões R e f(R).

Passo 1

A questão pede a imagem pela transformação de Möbius f(z)=1/z da região R=x+iyinC:x>1,,y>0. Vamos usar que z=1/w e impor as desigualdades de R em termos de w=u+iv.

Passo 2

Escrevendo z=1/w em parte real e imaginária:
z=1u+iv=u-ivu^2+v^2=x+iy, temos então
x=uu^2+v^2, e
y=-vu^2+v^2

Passo 3

Para garantir y>0 precisamos de
-vu^2+v^2>0 como u^2+v^2>0, segue v<0. Portanto f envia Im(z)>0 em Im(w)<0.

Passo 4

Agora impomos x>1:
uu^2+v^2>1 o que equivale a
u>u^2+v^2 ou
u^2 -u+v^2<0

Passo 5

Completando o quadrado em u:
(u-tfrac12)^2 + v^2 < tfrac14 Logo f envia Re(z)>1 no interior do círculo de centro (tfrac12,0) e raio tfrac12.

Passo 6

A interseção das duas condições dá
f(R)=lw=u+iv:,v<0 e (u-tfrac12)^2+v^2Em termos de contornos: a reta x=1 vira o arco do círculo acima; o eixo real y=0, x>1 vira o segmento real (0,1). O resultado é a região interior ao círculo de raio 1/2 centrado em (1/2,0), porém abaixo do eixo real.

Resposta

A imagem é a região interior ao círculo de centro (tfrac12,0) e raio tfrac12 que está no semiplano inferior. Em fórmulas: f(R)=win C:,Im(w)<0 e |w-tfrac12|

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