Descreva geometricamente a imagem do semiplano
pela transformação
. Esboce as regiões
e
. Descreva geometricamente o efeito da transformação
em um
visto como um vetor a partir da origem.
Passo 1
O enunciado pede para ver como o semiplano direito H = { (x,y) ∈ ℂ ; x>0 } é enviado pela transformação f(z) = i z + i , desenhar H e f(H) e dizer o que f faz num ponto z visto como vetor.
Passo 2
Primeiro reconhecemos que f é a composição de duas operações: multiplicação por i (rotação de 90° no sentido anti-horário, sem escala) e depois soma de i (translação de 1 unidade para cima).
Passo 3
Para achar a imagem da fronteira de H — a reta x=0 — tomamos z = i y (y ∈ ℝ). Então
Isso mostra que a reta x=0 vai para a reta horizontal Im(w)=1 .
Passo 4
Para um ponto genérico z = x + i y com x>0 temos
Como x>0, segue que Im(w)=x+1>1 . Logo f(H) = { w ∈ ℂ ; Im(w) > 1 } , o semiplano acima da reta Im(w)=1.
Passo 5
Geometricamente, H é o semiplano vertical à direita do eixo imaginário, e f(H) é o semiplano horizontal acima da reta Im(w)=1. Na figura, H fica sombreado à direita de x=0 no plano-z, e f(H) fica sombreado acima de y=1 no plano-w.
Passo 6
Em termos de vetores a partir da origem, f leva um vetor z ↦ iz (rotação de +90°) e então desloca todo o resultado para cima em 1 unidade.
Resposta
A imagem de H por f é o semiplano { w ∈ ℂ ; Im(w) > 1 }. A transformação f primeiro roda cada vetor de 90° em torno da origem (multiplicação por i) e depois traduz tudo uma unidade para cima (soma de i).