Descreva geometricamente a imagem do semiplano H=(x, y) in C ; x>0 pela transformação w=f(z)=i z+i. Esboce as regiões H e f(H). Descreva geometricamente o efeito da transformação f em um z in C visto como um vetor a partir da origem.

Passo 1

O enunciado pede para ver como o semiplano direito H = { (x,y) ∈ ℂ ; x>0 } é enviado pela transformação f(z) = i z + i , desenhar H e f(H) e dizer o que f faz num ponto z visto como vetor.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que f é a composição de duas operações: multiplicação por i (rotação de 90° no sentido anti-horário, sem escala) e depois soma de i (translação de 1 unidade para cima).

Passo 3

Para achar a imagem da fronteira de H — a reta x=0 — tomamos z = i y (y ∈ ℝ). Então
w = f(z) = i(iy) + i = -y + i
Isso mostra que a reta x=0 vai para a reta horizontal Im(w)=1 .

Passo 4

Para um ponto genérico z = x + i y com x>0 temos
Re(w)= -y, Im(w)= x+1
Como x>0, segue que Im(w)=x+1>1 . Logo f(H) = { w ∈ ℂ ; Im(w) > 1 } , o semiplano acima da reta Im(w)=1.

Passo 5

Geometricamente, H é o semiplano vertical à direita do eixo imaginário, e f(H) é o semiplano horizontal acima da reta Im(w)=1. Na figura, H fica sombreado à direita de x=0 no plano-z, e f(H) fica sombreado acima de y=1 no plano-w.

Passo 6

Em termos de vetores a partir da origem, f leva um vetor z ↦ iz (rotação de +90°) e então desloca todo o resultado para cima em 1 unidade.

Resposta

A imagem de H por f é o semiplano { w ∈ ℂ ; Im(w) > 1 }. A transformação f primeiro roda cada vetor de 90° em torno da origem (multiplicação por i) e depois traduz tudo uma unidade para cima (soma de i).

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