Encontre a transformação fracionária linear que leva os pontos
. (Sugestão: é bastante eficiente usar a forma implícita)
Passo 1
O enunciado pede para achar a transformação fracionária linear (Möbius) que envia os pontos z₁=–1, z₂=0, z₃=1 nos pontos w₁=–i, w₂=1, w₃=i. O conteúdo é transformações fracionárias lineares e vamos usar a forma implícita via razão dupla (cross–ratio).
Passo 2
A forma implícita diz que a transformação f(z)=w satisfaz a igualdade de razões duplas
Passo 3
Substituindo w₁=–i, w₂=1, w₃=i e z₁=–1, z₂=0, z₃=1 obtemos
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por –1 e reorganizando temos
Passo 5
Agora isolamos w. Multiplicando por (w–i) e expandindo:
Passo 6
Logo
Passo 7
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por (1+i) e chegamos a
Resposta
A transformação pedida é