Encontre a transformação fracionária linear que leva os pontos z1=-1, z2=0, z3=1 em w1=-i, w2=1, w3=i. (Sugestão: é bastante eficiente usar a forma implícita)

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformação fracionária linear (Möbius) que envia os pontos z₁=–1, z₂=0, z₃=1 nos pontos w₁=–i, w₂=1, w₃=i. O conteúdo é transformações fracionárias lineares e vamos usar a forma implícita via razão dupla (cross–ratio).

Passo 2

A forma implícita diz que a transformação f(z)=w satisfaz a igualdade de razões duplas
(w - w1)(w2 - w3)(w - w3)(w2 - w1) = (z - z1)(z2 - z3)(z - z3)(z2 - z1)

Passo 3

Substituindo w₁=–i, w₂=1, w₃=i e z₁=–1, z₂=0, z₃=1 obtemos
-i ;w + iw - i = -;z + 1z - 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por –1 e reorganizando temos
z + 1z - 1 = i;w + iw - i

Passo 5

Agora isolamos w. Multiplicando por (w–i) e expandindo:
z + 1z - 1(w - i) = i(w + i)
wl(z + 1z - 1 - ir) = iz + 1z - 1 - 1

Passo 6

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w = i,(z+1)/(z-1) - 1(z+1)/(z-1) - i = i(z+1) - (z - 1)(z+1) - i(z - 1)

Passo 7

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por (1+i) e chegamos a
w = -2z + 2i2z + 2i = -z - iz + i = i - zz + i

Resposta

A transformação pedida é f(z)=i - zz + i

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