Encontre a transformação fracionária linear que leva os pontos z1=infty, z2=i, z3=0 em w1=0, w2=i, w3=infty.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformação de Möbius que leva z1=infty, z2=i e z3=0 nos pontos w1=0, w2=i e w3=infty. Vamos usar a forma geral de transformações fracionárias lineares.

Passo 2

Escrevemos a forma geral de uma transformação fracionária linear:
f(z)=a,z + bc,z + d

Passo 3

Sabemos que f(infty)=limztoinftyf(z)=a/c. Impor f(infty)=0 a/c=0, logo a=0. Então
f(z)=bc,z + d

Passo 4

Agora, f(0)=b/d deve ser infty, então o denominador em z=0 é zero: d=0. A função reduz a
f(z)=bc,z=bc,1z

Passo 5

Para achar o fator b/c, usamos f(i)=i:
bc,1i=i

Passo 6

Como 1/i=-i, segue (b/c)(-i)=i, ou seja b/c=-1.

Passo 7

Escolhendo c=1 e b=-1, obtemos a transformação desejada:
f(z)=-1z

Resposta

f(z) = -1/z

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