Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=-x, y=raiz2-x, y=0;

Passo 1

A questão pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y = -x, y = raiz2-x e y = 0. Vamos usar cálculo de integrais definidas para área de regiões planas, escolhendo fatias horizontais.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção para delimitar a região:
  • Interseção de y=-x com y=0: cuidando que y=0 implica -x=0, temos o ponto (0,0).
  • Interseção de y=raiz2-x com y=0: raiz2-x=0 leva a x=2, ou seja (2,0).
  • Interseção de y=-x com y=raiz2-x: resolvemos -x = raiz2-x. Como o lado direito é não-negativo, só vale para x<=0. Ao quadrar temos
x^2 = 2 - x Longrightarrow x^2 + x - 2 = 0 ;Rightarrow; x=-2 ou x=1
Como x<=0, ficamos com x=-2 e então y=2. Ponto (-2,2).

Passo 3

Para descrever a região por fatias horizontais, paramos por y de 0 até 2. A abscissa esquerda vem de y=-x, ou seja x=-y, e a abscissa direita vem de y=raiz2-x, invertendo: x=2-y^2.

Passo 4

A área é dada por
A = integraly=0^2 l[(2 - y^2) - (-y)r] ,dy = integral0^2 (2 + y - y^2) ,dy

Passo 5

Agora calculamos a integral:
F(y)=integral (2 + y - y^2) ,dy = 2y + y^22 - y^33,

Passo 6

e então
A = F(2) - F(0) = l(2cdot2 + 2^22 - 2^33r) - 0 = 4 + 2 - 83 = 103

Resposta

tfrac103

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