Use a definição para calcular \mathcal{L}\{f(t)\}), onde \(f(t)=e^{t+7}😉

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{f(t)\}, onde f(t)=e^{t+7}. Informações dadas: a função f(t) está expressa por f(t)=e^{t+7} para t\ge 0 (pressuposto padrão para transformada de Laplace). A tarefa é usar a definição da transformada de Laplace para obter uma expressão fechada e indicar a região de convergência em termos de s.

Passo 2

Vamos recordar a definição da transformada de Laplace (aqui eu explico a fórmula que vamos usar e o que cada símbolo significa). A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
Nessa fórmula:
  • t é a variável de tempo (a variável da função original);
  • s é a variável complexa onde a transformada é avaliada (pensa em s como um número que pode ser real ou complexo);
  • a integral impropria vai de 0 a \infty e só converge para valores de s que fazem o integrando decair suficientemente rápido (essa região onde a integral converge é chamada de região de convergência).

Passo 3

Primeiro simplificamos f(t). Usando propriedades de exponenciais, temos
f(t)=e^{t+7}=e^{7}\,e^{t}.
Aqui e^{7} é uma constante multiplicativa (não depende de t), então poderá ser tirada para fora da integral quando aplicarmos a definição.

Passo 4

Substituímos f(t)=e^{7}e^{t} na definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{7}e^{t}\,dt.
Fatorando a constante e^{7} para fora da integral e juntando os exponenciais com mesma base:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=e^{7}\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{t}\,dt = e^{7}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt.
Observe a manipulação algébrica: e^{-st}e^{t}=e^{-(s-1)t}.

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral imprópria \int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt. Use a primitiva da exponencial: para a\neq 0,
\int e^{-at}\,dt = -\frac{1}{a}e^{-at}.
Tomando a=s-1 e avaliando de 0 a \infty, obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s-1}e^{-(s-1)t}\right]_{0}^{T}.
Para que o termo e^{-(s-1)T} vá a zero quando T\to\infty, precisamos que a parte real de s-1 seja positiva, ou seja \Re(s-1)>0, equivalente a \Re(s)>1. Supondo \Re(s)>1, o limite no infinito é zero e no t=0 o termo vale 1, então
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt = \frac{1}{s-1},\qquad \text{para } \Re(s)>1.

Passo 6

Multiplicando pelo fator e^{7} que foi tirado para fora, obtemos a transformada:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=e^{7}\cdot\frac{1}{s-1}=\frac{e^{7}}{s-1},
com região de convergência \Re(s)>1.

Passo 7

Comentário final rápido para fixar: essa resposta segue o caso geral \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a. No nosso caso a=1 e há o fator multiplicativo e^{7}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{t+7}\}(s)=\frac{e^{7}}{s-1},\quad \Re(s)>1

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