Use a definição para calcular
😉
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
. Informações dadas: a função
está expressa por
para
(pressuposto padrão para transformada de Laplace). A tarefa é usar a definição da transformada de Laplace para obter uma expressão fechada e indicar a região de convergência em termos de
.
Passo 2
Vamos recordar a definição da transformada de Laplace (aqui eu explico a fórmula que vamos usar e o que cada símbolo significa). A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Nessa fórmula:
-
é a variável de tempo (a variável da função original); -
é a variável complexa onde a transformada é avaliada (pensa em como um número que pode ser real ou complexo); - a integral impropria vai de
a e só converge para valores de que fazem o integrando decair suficientemente rápido (essa região onde a integral converge é chamada de região de convergência).
Passo 3
Primeiro simplificamos
. Usando propriedades de exponenciais, temos
Aqui
é uma constante multiplicativa (não depende de
), então poderá ser tirada para fora da integral quando aplicarmos a definição.
Passo 4
Substituímos
na definição:
Fatorando a constante
para fora da integral e juntando os exponenciais com mesma base:
Observe a manipulação algébrica:
.
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral imprópria
. Use a primitiva da exponencial: para
,
Tomando
e avaliando de
a
, obtemos
Para que o termo
vá a zero quando
, precisamos que a parte real de
seja positiva, ou seja
, equivalente a
. Supondo
, o limite no infinito é zero e no
o termo vale 1, então
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que foi tirado para fora, obtemos a transformada:
com região de convergência
.
Passo 7
Comentário final rápido para fixar: essa resposta segue o caso geral
para
. No nosso caso
e há o fator multiplicativo
.