Descreva o gráfico da equação.
\mathbf{r}=2 t \mathbf{i}-3 \mathbf{j}+(1+3 t) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado fornece a equação vetorial
\mathbf{r}=2t\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+(1+3t)\,\mathbf{k}
e pede que se descreva o gráfico dessa equação. Informações dadas que vou usar:
  • A expressão está em função do parâmetro t.
  • Os termos contendo t indicam a direção do conjunto de pontos; os termos constantes indicam um ponto específico por onde a curva passa.
    O pedido é: dizer geometricamente que conjunto de pontos em \mathbb{R}^3 essa equação representa e escrever formas equivalentes (paramétrica, simétrica, ponto + vetor diretor).

Passo 2

Interpretando a equação coordenada a coordenada: escrever a componente x, y, z como funções de t. Da expressão dada obtemos as equações paramétricas
x=2t,\qquad y=-3,\qquad z=1+3t.
Explicação didática: cada componente do vetor \mathbf{r} corresponde a uma coordenada no espaço. Os coeficientes de t dizem como cada coordenada varia quando t muda; os termos sem t são deslocamentos fixos.

Passo 3

Extrair um ponto do conjunto e o vetor diretor. Método: escrever a equação na forma \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}.
  • O termo constante (valor quando t=0) é \mathbf{r}_0=(0,-3,1), pois para t=0 obtemos o ponto (0,-3,1).
  • O coeficiente de t é o vetor diretor \mathbf{v}=(2,0,3), pois a parte que multiplica t é 2\mathbf{i}+0\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
    Explicação prática: \mathbf{r}_0 é um ponto que pertence à curva; \mathbf{v} indica a direção e sentido da curva. A curva é então do tipo “reta” porque depende linearmente de t.

Passo 4

Confirmar que o parâmetro t varia em todos os reais e que a curva é uma reta infinita. Justificação: não há restrição sobre t no enunciado, logo t\in\mathbb{R}. Quando a posição é dada por \mathbf{r}_0+t\mathbf{v} com \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, o conjunto \{\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\} é uma reta infinita em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Construir a equação simétrica (cartesiana) da reta eliminando t. Procedimento:
  • De x=2t segue t=\dfrac{x}{2}.
  • De z=1+3t segue t=\dfrac{z-1}{3}.
    Iguais as duas expressões para t obtemos a relação
\frac{x}{2}=\frac{z-1}{3}.
Como a coordenada y não depende de t (tem coeficiente zero), temos também
y=-3.
Observação didática: quando uma componente do vetor diretor é zero (aqui a componente y é 0), a equação simétrica deve tratar essa coordenada como constante.

Passo 6

Dar pontos exemplos e interpretar geometricamente para fixar a imagem na cabeça:
  • Para t=0: (0,-3,1).
  • Para t=1: (2,-3,4).
  • Para t=-1: (-2,-3,-2).
    Isso mostra que a reta fica inteira contida no plano y=-3 (porque y é sempre -3) e, nesse plano, ela é uma reta inclinada no sentido em que quando x aumenta de 2 a z aumenta de 3 (razão 3/2 entre incrementos de z e x). A reta é ilimitada nos dois sentidos ( t\to\pm\infty).

Passo 7

Observação prática sobre parametrização: o vetor diretor \mathbf{v}=(2,0,3) tem norma \|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+0^2+3^2}=\sqrt{13}. Se quiser uma parametrização pelo comprimento (parâmetro arco), divide-se \mathbf{v} por \sqrt{13} para obter o vetor unitário \dfrac{1}{\sqrt{13}}(2,0,3), mas isso não é necessário para descrever a reta — serve apenas se precisar medir distâncias ao longo da reta usando o parâmetro.

Resposta

Reta em \mathbb{R}^3 que passa por (0,-3,1) e tem vetor diretor (2,0,3).
Equações paramétricas: x=2t,\;y=-3,\;z=1+3t,\;t\in\mathbb{R}.
Equação simétrica: \dfrac{x}{2}=\dfrac{z-1}{3},\;y=-3.

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