Descreva o gráfico da equação.
Passo 1
O enunciado fornece a equação vetorial
e pede que se descreva o gráfico dessa equação. Informações dadas que vou usar:
- A expressão está em função do parâmetro
. - Os termos contendo
indicam a direção do conjunto de pontos; os termos constantes indicam um ponto específico por onde a curva passa.
O pedido é: dizer geometricamente que conjunto de pontos emessa equação representa e escrever formas equivalentes (paramétrica, simétrica, ponto + vetor diretor).
Passo 2
Interpretando a equação coordenada a coordenada: escrever a componente
,
,
como funções de
. Da expressão dada obtemos as equações paramétricas
Explicação didática: cada componente do vetor
corresponde a uma coordenada no espaço. Os coeficientes de
dizem como cada coordenada varia quando
muda; os termos sem
são deslocamentos fixos.
Passo 3
Extrair um ponto do conjunto e o vetor diretor. Método: escrever a equação na forma
.
- O termo constante (valor quando
) é , pois para obtemos o ponto . - O coeficiente de
é o vetor diretor , pois a parte que multiplica é .
Explicação prática:é um ponto que pertence à curva; indica a direção e sentido da curva. A curva é então do tipo “reta” porque depende linearmente de .
Passo 4
Confirmar que o parâmetro
varia em todos os reais e que a curva é uma reta infinita. Justificação: não há restrição sobre
no enunciado, logo
. Quando a posição é dada por
com
, o conjunto
é uma reta infinita em
.
Passo 5
Construir a equação simétrica (cartesiana) da reta eliminando
. Procedimento:
- De
segue . - De
segue .
Iguais as duas expressões paraobtemos a relação
Como a coordenada
não depende de
(tem coeficiente zero), temos também
Observação didática: quando uma componente do vetor diretor é zero (aqui a componente
é
), a equação simétrica deve tratar essa coordenada como constante.
Passo 6
Dar pontos exemplos e interpretar geometricamente para fixar a imagem na cabeça:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Isso mostra que a reta fica inteira contida no plano(porque é sempre ) e, nesse plano, ela é uma reta inclinada no sentido em que quando aumenta de a aumenta de (razão entre incrementos de e ). A reta é ilimitada nos dois sentidos ( ).
Passo 7
Observação prática sobre parametrização: o vetor diretor
tem norma
. Se quiser uma parametrização pelo comprimento (parâmetro arco), divide-se
por
para obter o vetor unitário
, mas isso não é necessário para descrever a reta — serve apenas se precisar medir distâncias ao longo da reta usando o parâmetro.
Resposta
Reta em
que passa por
e tem vetor diretor
.
Equações paramétricas: .
Equação simétrica: .
Equações paramétricas:
Equação simétrica: