Descreva o gráfico da equação.
\mathbf{r}=2 \cos t \mathbf{i}-3 \operatorname{sen} t \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em forma vetorial
\mathbf{r}(t)=2\cos t\,\mathbf{i}-3\sin t\,\mathbf{j}+\mathbf{k},
com t variando em todos os números reais. O que se pede é descrever o gráfico dessa curva — isto é, que figura geométrica ela forma no espaço, onde está localizada e como é percorrida quando t aumenta. As informações explícitas que temos:
  • as componentes são x(t)=2\cos t, y(t)=-3\sin t e z(t)=1;
  • o parâmetro t é livre em \mathbb{R}.

Passo 2

Perceba primeiro a coordenada z: \,z(t)=1 para todo t. Isso significa que a curva inteira está contida no plano horizontal
z=1.
Explicação curta (passo a passo): a expressão da componente z não depende de t e tem valor constante igual a 1. Geometricamente, qualquer ponto da curva tem a mesma altura z=1.

Passo 3

Vamos eliminar o parâmetro t para ver a equação no plano z=1. Das equações das componentes temos
\cos t=\frac{x}{2},\qquad \sin t=-\frac{y}{3}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 t+\sin^2 t=1 (isto é, a soma dos quadrados do cosseno e do seno vale 1 para todo t), substituímos as expressões acima:
\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(-\frac{y}{3}\right)^2=1.
Como (-y/3)^2=(y/3)^2, obtemos a equação padrão
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1.
Portanto, na interseção com o plano z=1 a curva satisfaz a equação acima — que é a equação de uma elipse.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1:
  • É uma elipse centrada na origem do plano xy. Como toda a curva está em z=1, o centro da elipse no espaço é o ponto (0,0,1).
  • Os semi-eixos são \,a=2 ao longo do eixo x (porque x^2/2^2) e \,b=3 ao longo do eixo y (porque y^2/3^2). Logo o eixo maior tem comprimento 2b=6 e está alinhado com o eixo y; o eixo menor tem comprimento 2a=4 e está alinhado com o eixo x.

Passo 5

Agora vou explicar o sentido (orientação) com que a elipse é percorrida quando t aumenta. A projeção no plano xy é (x,y)=(2\cos t,\,-3\sin t). Avaliando alguns valores de t:
  • t=0 dá o ponto (2,0) (no espaço: (2,0,1));
  • t=\tfrac{\pi}{2} (0,-3);
  • t=\pi (-2,0);
  • t=\tfrac{3\pi}{2} (0,3).
    Isso mostra que, partindo de (2,0) e aumentando t, o percurso vai para (0,-3) depois para (-2,0) e assim por diante — ou seja, o movimento ao redor do centro é no sentido horário visto a partir do eixo positivo z. Outra forma de ver: se a componente y fosse +3\sin t o movimento seria anti-horário; o sinal negativo em y inverte o sentido.

Passo 6

Características adicionais úteis para prova:
  • A curva é periódica de período 2\pi, porque \cos t e \sin t têm período 2\pi. Portanto a elipse é percorrida repetidamente quando t varia por incrementos de 2\pi.
  • O vetor tangente é
\mathbf{r}'(t)=-2\sin t\,\mathbf{i}-3\cos t\,\mathbf{j},
pois a componente z é constante. A velocidade (módulo do vetor tangente) é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{4\sin^2 t+9\cos^2 t},
que nunca é zero (não existem t tais que simultaneamente \sin t=0 e \cos t=0), logo a parametrização é suave e a elipse é percorrida sem paradas instantâneas.

Passo 7

Resumo didático (como reconhecer esse tipo de curva em provas): sempre que a parametrização tem a forma \,x=a\cos t,\;y=b\sin t (ou com um sinal menos em uma das componentes), a curva é uma elipse com semi-eixos |a| e |b| no plano correspondente. Se houver uma componente z constante, a elipse fica num plano paralelo ao plano xy nesse valor de z.

Resposta

Elipse centrada em (0,0,1) contida no plano z=1, com equação \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1; semi-eixos \,2 ao longo de x e \,3 ao longo de y; percorrida no sentido horário quando t aumenta; curva fechada e periódica de período 2\pi.

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