Descreva o gráfico da equação.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica em forma vetorial
com
variando em todos os números reais. O que se pede é descrever o gráfico dessa curva — isto é, que figura geométrica ela forma no espaço, onde está localizada e como é percorrida quando
aumenta. As informações explícitas que temos:
- as componentes são
, e ; - o parâmetro
é livre em .
Passo 2
Perceba primeiro a coordenada
:
para todo
. Isso significa que a curva inteira está contida no plano horizontal
Explicação curta (passo a passo): a expressão da componente
não depende de
e tem valor constante igual a
. Geometricamente, qualquer ponto da curva tem a mesma altura
.
Passo 3
Vamos eliminar o parâmetro
para ver a equação no plano
. Das equações das componentes temos
Usando a identidade trigonométrica fundamental
(isto é, a soma dos quadrados do cosseno e do seno vale
para todo
), substituímos as expressões acima:
Como
, obtemos a equação padrão
Portanto, na interseção com o plano
a curva satisfaz a equação acima — que é a equação de uma elipse.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação
:
- É uma elipse centrada na origem do plano
. Como toda a curva está em , o centro da elipse no espaço é o ponto . - Os semi-eixos são
ao longo do eixo (porque ) e ao longo do eixo (porque ). Logo o eixo maior tem comprimento e está alinhado com o eixo ; o eixo menor tem comprimento e está alinhado com o eixo .
Passo 5
Agora vou explicar o sentido (orientação) com que a elipse é percorrida quando
aumenta. A projeção no plano
é
. Avaliando alguns valores de
:
-
dá o ponto (no espaço: ); -
dá ; -
dá ; -
dá .
Isso mostra que, partindo dee aumentando , o percurso vai para depois para e assim por diante — ou seja, o movimento ao redor do centro é no sentido horário visto a partir do eixo positivo . Outra forma de ver: se a componente fosse o movimento seria anti-horário; o sinal negativo em inverte o sentido.
Passo 6
Características adicionais úteis para prova:
- A curva é periódica de período
, porque e têm período . Portanto a elipse é percorrida repetidamente quando varia por incrementos de . - O vetor tangente é
pois a componente
é constante. A velocidade (módulo do vetor tangente) é
que nunca é zero (não existem
tais que simultaneamente
e
), logo a parametrização é suave e a elipse é percorrida sem paradas instantâneas.
Passo 7
Resumo didático (como reconhecer esse tipo de curva em provas): sempre que a parametrização tem a forma
(ou com um sinal menos em uma das componentes), a curva é uma elipse com semi-eixos
e
no plano correspondente. Se houver uma componente
constante, a elipse fica num plano paralelo ao plano
nesse valor de
.
Resposta
Elipse centrada em
contida no plano
, com equação
; semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
; percorrida no sentido horário quando
aumenta; curva fechada e periódica de período
.