Descreva o gráfico da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação vetorial
.
O que se pede: descrever geometricamente o gráfico dessa equação (ou seja, que curva em ela representa, sua posição, forma, vértice, orientação etc.). Informações relevantes dadas:
O que se pede: descrever geometricamente o gráfico dessa equação (ou seja, que curva em
- A expressão de
em função do parâmetro . - Não há restrição explícita sobre
(logo ).
Passo 2
Escrevendo as componentes coordenada a coordenada a partir de
:
Explicação didática: a forma vetorial
significa que cada componente escalar é função de
. Aqui basta comparar termos para obter
. Isso nos dá a parametrização da curva por
.
Passo 3
Eliminar o parâmetro para ver a relação cartesiana entre
e
. Como
, basta substituir
em
:
E manter
. Portanto a curva satisfaz simultaneamente
Explicação didática: eliminar o parâmetro é um truque comum — aqui foi simples porque uma componente é exatamente
. Isso transforma a parametrização em uma equação entre
e
, com
fixo.
Passo 4
Identificar o tipo de curva e sua posição: a equação
é a equação de uma parábola em coordenadas
versus
. Como
é constante (
), a parábola está contida no plano vertical
Portanto geometricamente é uma parábola no plano
, com a coordenada
dada como função quadrática de
.
Passo 5
Características concretas da parábola (valores e orientação), com explicações:
- Vértice: ocorre quando
(pois a função quadrática tem máximo em ). Substituindo: Então o vértice é . - Eixo de simetria: a parábola é simétrica em relação à linha
porque depende só de (simetria ). - Abertura e direção: como
, os valores de diminuem ao aumentar . Logo a parábola abre no sentido negativo de (para baixo em relação ao eixo ). - Orientação do parâmetro
: como , quando aumenta a coordenada aumenta. O ponto está no vértice; para seguimos para ao longo do ramo direito (em ) com decrescendo; para seguimos o ramo simétrico com . Assim o parâmetro percorre a parábola do ramo negativo de para o ramo positivo de conforme cresce. - Vetor tangente (opcional, útil para compreender orientação): derivando
, Em (vértice) o vetor tangente é , ou seja, aponta na direção positiva de no vértice — consistente com o fato de que, a partir do vértice, o parâmetro cresce levando para .
Passo 6
Pontos de referência para esboçar (exemplos numéricos fáceis para desenhar à mão):
Dica prática para a prova: desenhe primeiro o plano
(um plano paralelo ao plano
e deslocado em
), depois no sistema de coordenadas local
trace a parábola padrão
com vértice em
abrindo para baixo.
Resposta
Uma parábola contida no plano
com equação
. Vértice em
, eixo de simetria a reta
, ela abre no sentido negativo de
.