Descreva o gráfico da equação.
\mathbf{r}=-3 \mathbf{i}+\left(1-t^{2}\right) \mathbf{j}+t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá a equação vetorial
\mathbf{r}=-3\mathbf{i}+\left(1-t^{2}\right)\mathbf{j}+t\mathbf{k}.
O que se pede: descrever geometricamente o gráfico dessa equação (ou seja, que curva em \mathbb{R}^{3} ela representa, sua posição, forma, vértice, orientação etc.). Informações relevantes dadas:
  • A expressão de \mathbf{r} em função do parâmetro t.
  • Não há restrição explícita sobre t (logo t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Escrevendo as componentes coordenada a coordenada a partir de \mathbf{r}:
x=-3,\qquad y=1-t^{2},\qquad z=t.
Explicação didática: a forma vetorial \mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} significa que cada componente escalar é função de t. Aqui basta comparar termos para obter x(t),y(t),z(t). Isso nos dá a parametrização da curva por t.

Passo 3

Eliminar o parâmetro para ver a relação cartesiana entre y e z. Como z=t, basta substituir t=z em y:
y=1-t^{2}\quad\Longrightarrow\quad y=1-z^{2}.
E manter x=-3. Portanto a curva satisfaz simultaneamente
x=-3,\qquad y=1-z^{2}.
Explicação didática: eliminar o parâmetro é um truque comum — aqui foi simples porque uma componente é exatamente t. Isso transforma a parametrização em uma equação entre y e z, com x fixo.

Passo 4

Identificar o tipo de curva e sua posição: a equação y=1-z^{2} é a equação de uma parábola em coordenadas y versus z. Como x é constante ( x=-3), a parábola está contida no plano vertical
x=-3.
Portanto geometricamente é uma parábola no plano x=-3, com a coordenada y dada como função quadrática de z.

Passo 5

Características concretas da parábola (valores e orientação), com explicações:
  • Vértice: ocorre quando z=0 (pois a função quadrática -z^{2} tem máximo em 0). Substituindo: (x,y,z)=(-3,1,0).Então o vértice é \;(-3,\,1,\,0).
  • Eixo de simetria: a parábola é simétrica em relação à linha x=-3,\;z=0\quad(\text{ou seja, a reta } \{(-3,y,0):y\in\mathbb{R}\}),porque y depende só de z^{2} (simetria z\mapsto -z).
  • Abertura e direção: como y=1-z^{2}=1-(\text{positivo}), os valores de y diminuem ao aumentar |z|. Logo a parábola abre no sentido negativo de y (para baixo em relação ao eixo y).
  • Orientação do parâmetro t: como z(t)=t, quando t aumenta a coordenada z aumenta. O ponto t=0 está no vértice; para t>0 seguimos para z>0 ao longo do ramo direito (em z>0) com y decrescendo; para t<0 seguimos o ramo simétrico com z<0. Assim o parâmetro percorre a parábola do ramo negativo de z para o ramo positivo de z conforme t cresce.
  • Vetor tangente (opcional, útil para compreender orientação): derivando \mathbf{r}(t), \mathbf{r}'(t) = -2t\,\mathbf{j} + 1\,\mathbf{k}.Em t=0 (vértice) o vetor tangente é \mathbf{r}'(0)=\mathbf{k}, ou seja, aponta na direção positiva de z no vértice — consistente com o fato de que, a partir do vértice, o parâmetro cresce levando para z>0.

Passo 6

Pontos de referência para esboçar (exemplos numéricos fáceis para desenhar à mão):
\begin{aligned} t=0&:\;(-3,1,0),\\\ t=1&:\;(-3,0,1),\\\ t=-1&:\;(-3,0,-1),\\\ t=2&:\;(-3,-3,2),\\\ t=-2&:\;(-3,-3,-2). \end{aligned}
Dica prática para a prova: desenhe primeiro o plano x=-3 (um plano paralelo ao plano yz e deslocado em x), depois no sistema de coordenadas local (z,y) trace a parábola padrão y=1-z^{2} com vértice em (z=0,y=1) abrindo para baixo.

Resposta

Uma parábola contida no plano x=-3 com equação y=1-z^{2}. Vértice em (-3,\,1,\,0), eixo de simetria a reta x=-3,\;z=0, ela abre no sentido negativo de y.

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