Encontre a segunda soluçāo da ED usando o método de Abel para a reduçāo de ordem
\mid x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0, y_{1}=x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que se pede.
  • Equação dada:
x^{2}y''+2x y'-6y=0.
  • Solução conhecida:
y_{1}=x^{2}.
  • Pedido: encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2} usando o método de Abel (redução de ordem).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão ajuda a identificar os coeficientes usados nas fórmulas. Divido a equação por x^{2} (assumindo x\neq 0) para obter a forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
Fazendo a divisão:
y''+\frac{2}{x}y'-\frac{6}{x^{2}}y=0.
Portanto:
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=-\frac{6}{x^{2}}.
Explicação rápida do que são P(x) e Q(x): na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, P(x) é o coeficiente da derivada primeira dividido pelo coeficiente da derivada segunda, e Q(x) é o coeficiente de y dividido pelo coeficiente de y''. Essas funções aparecem nas fórmulas de redução de ordem e na identidade de Abel.

Passo 3

Apresento e derivo a fórmula usada no método de redução de ordem (relacionada à identidade de Abel), de modo didático.
Queremos uma segunda solução na forma
y_{2}=v(x)\,y_{1},
onde v(x) é uma função a determinar. Calculo as derivadas:
y_{2}'=v'y_{1}+v y_{1}',\qquad y_{2}''=v''y_{1}+2v'y_{1}'+v y_{1}''.
Substituindo na equação y''+P y'+Q y=0 e usando que y_{1} satisfaz a equação, os termos com v (sem derivada) cancelam, restando
v''y_{1}+(2y_{1}'+P y_{1})v'=0.
Agora fazemos a redução de ordem definindo u=v'. Assim obtemos uma equação de primeira ordem para u:
u' + \left(\frac{2y_{1}'}{y_{1}}+P\right)u=0.
Essa é uma equação linear de primeira ordem homogênea. A solução geral para u é
u=C\exp\left(-\int\left(\frac{2y_{1}'}{y_{1}}+P\right)dx\right).
Reescrevendo o expoente:
\frac{2y_{1}'}{y_{1}}+P=2\frac{d}{dx}\big(\ln y_{1}\big)+P
portanto
u=C\,\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}.
Integrando v=\int u\,dx obtemos
v=C\int\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Finalmente a segunda solução pode ser tomada como
y_{2}=y_{1}\int\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
onde o fator constante C pode ser absorvido (uma constante multiplicativa não altera a independência linear).
Essa é a fórmula padrão usada no método de Abel/redução de ordem. Aqui:
  • y_{1} é a solução conhecida;
  • P(x) é o coeficiente da forma padrão;
  • a integral fornece a função v (até constante multiplicativa).

Passo 4

Agora aplico a fórmula ao caso concreto. Já identifiquei P(x)=\dfrac{2}{x} e y_{1}=x^{2}.
Calculo \int P\,dx:
\int P\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|.
Logo
e^{-\int P\,dx}=e^{-2\ln|x|}=|x|^{-2}.
Para trabalhar de forma simples tomo x\neq0 e escrevo e^{-\int P\,dx}=x^{-2}.
Calculo y_{1}^{2}:
y_{1}^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4}.
Então o integrando da fórmula é
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-2}}{x^{4}}=x^{-6}.
Integro:
\int x^{-6}\,dx=\int x^{-6}\,dx=\frac{x^{-5}}{-5}=-\frac{1}{5}x^{-5}.

Passo 5

Construo y_{2} usando a fórmula:
y_{2}=y_{1}\left(\int\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx\right) = x^{2}\left(-\frac{1}{5}x^{-5}\right)=-\frac{1}{5}x^{-3}.
Como multiplicar por uma constante não altera a independência linear, escolho a forma mais simples para a segunda solução (retirando o fator constante):
y_{2}=x^{-3}.
Verificação rápida de independência (opcional, mas útil): o Wronskiano de y_{1} e y_{2} é
W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix} x^{2} & x^{-3}\\\\ 2x & -3x^{-4}\end{vmatrix} = x^{2}(-3x^{-4}) - x^{-3}(2x) = -3x^{-2}-2x^{-2}=-5x^{-2},
que é diferente de zero para x\neq0. Portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Resposta

y_{2}=x^{-3}

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