Encontre a segunda soluçāo da ED usando o método de Abel para a reduçāo de ordem \mid x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0, y_{1}=x^{2}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e uma solução conhecida. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que se pede.
Equação dada:
x^{2}y''+2x y'-6y=0.
Solução conhecida:
y_{1}=x^{2}.
Pedido: encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2} usando o método de Abel (redução de ordem).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão ajuda a identificar os coeficientes usados nas fórmulas. Divido a equação por x^{2} (assumindo x\neq 0) para obter a forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
Fazendo a divisão:
y''+\frac{2}{x}y'-\frac{6}{x^{2}}y=0.
Portanto:
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=-\frac{6}{x^{2}}.
Explicação rápida do que são P(x) e Q(x): na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, P(x) é o coeficiente da derivada primeira dividido pelo coeficiente da derivada segunda, e Q(x) é o coeficiente de y dividido pelo coeficiente de y''. Essas funções aparecem nas fórmulas de redução de ordem e na identidade de Abel.
Passo 3
Apresento e derivo a fórmula usada no método de redução de ordem (relacionada à identidade de Abel), de modo didático.
Queremos uma segunda solução na forma
y_{2}=v(x)\,y_{1},
onde v(x) é uma função a determinar. Calculo as derivadas:
Como multiplicar por uma constante não altera a independência linear, escolho a forma mais simples para a segunda solução (retirando o fator constante):
y_{2}=x^{-3}.
Verificação rápida de independência (opcional, mas útil): o Wronskiano de y_{1} e y_{2} é