Descreva o gráfico da função e determine onde ocorre a reta tangente horizontal.
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y=x^3 - 3x + 2.

Passo 1

Temos a função y = x^3 - 3x + 2. O objetivo é descrever seu gráfico, identificando crescimento, decrescimento, extremos locais e pontos onde a reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar derivadas.

Passo 2

Derivando y em relação a x, obtemos:
y' = 3x^2 - 3

Passo 3

Igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
3x^2 - 3 = 0 x^2 = 1 x = pm 1

Passo 4

Calculamos as ordenadas correspondentes:
y(1) = 1^3 - 3cdot1 + 2 = 0, y(-1) = (-1)^3 -3(-1)+2 = 4
Analisando o sinal de y': para x < -1, y'>0 (crescente); para -1 < x < 1, y'<0 (decrescente); para x > 1, y'>0 (crescente). Em x=-1 há um máximo local em (-1,4) e em x=1 um mínimo local em (1,0).

Passo 5

Como o coeficiente de x^3 é positivo, quando x to -infty, y to -infty, e quando x to +infty, y to +infty. O gráfico tem, portanto, crescimento no intervalo ( -infty,-1 ), decrescimento em ( -1,1 ) e crescimento em (1,infty), com extremos locais em (-1,4) (máximo) e (1,0) (mínimo).

Resposta

As retas tangentes horizontais ocorrem nos pontos (-1,4) e (1,0).

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