Encontre a derivada da função f(x)=ln x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função $ f(x) = \ln x^{2} $. Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente ao estudo das taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma propriedade dos logaritmos. Sabia que $ \ln x^{2} $ pode ser reescrito de outra forma? Sim!
A propriedade que usamos é $ \ln a^{b} = b \ln a $. Aplicando isso na nossa função:
ln x^2

Passo 3

Agora que simplificamos a função para $ f(x) = 2 \ln x $, podemos encontrar a derivada dela. Para isso, precisamos lembrar da regra de derivação do logaritmo natural.
A derivada de $ \ln x $ em relação a $ x $ é:
f(x) = 2 ln x

Passo 4

Como temos um coeficiente 2 na frente do $ \ln x $, usamos a regra do coeficiente na derivada. Isso significa que multiplicamos a derivada da função pelo coeficiente.
Então, a derivada de $ f(x) = 2 \ln x $ é:
ln x

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \ln x^{2} $ é $ f’(x) = \frac{2}{x} $.

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