descreva o intervalo de números reais.
]-5, 7[
]-5, 7[
Passo 1
O enunciado dá o intervalo
e pede que eu o descreva. Informações que temos:
- Os extremos do intervalo são
e . - A notação
indica que os extremos não fazem parte do intervalo (são excluídos). - O universo implícito é o conjunto dos números reais.
Passo 2
Definição precisa de intervalo aberto: quando escrevemos
com
, isso significa o conjunto de todos os números reais
tais que
. Em notação de conjunto isso é
Explicando cada parte, de forma bem didática:
-
indica um conjunto. -
quer dizer “ é um número real”. - A expressão
significa que é maior que e ao mesmo tempo menor que . - Chamar esse intervalo de “aberto” quer dizer exatamente que os valores
e não pertencem ao conjunto.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado:
Ou seja: é o conjunto de todos os números reais que estão estritamente entre
e
.
Passo 4
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Números que pertencem ao intervalo:
, , , — todos satisfazem . - Números que não pertencem:
(porque não é maior que ), (porque não é menor que ), , .
Passo 5
Propriedades de extremos (explicadas passo a passo):
- O ínfimo (menor limite inferior) do conjunto é
. - O supremo (menor limite superior) é
. - Como os extremos não pertencem ao conjunto, o intervalo não tem mínimo nem máximo (não existe
no conjunto que seja igual a ou a ).
Passo 6
Comprimento (medida) do intervalo: a “distância” entre os extremos é
Isso significa que o comprimento do segmento correspondente na reta real é
.
Passo 7
Outras propriedades importantes, explicadas de forma simples:
- O conjunto
é limitado (pois todos os seus elementos ficam entre e ). - É aberto (no sentido topológico em
): para qualquer no intervalo existe um pequeno raio em torno de que também está totalmente dentro do intervalo. - É conexo e é um intervalo propriamente dito: se
estão no intervalo e , então também está no intervalo. - A sua adesão (fecho) é
e a sua fronteira é .
Passo 8
Representação na reta numérica (descrita): marque os pontos
e
com círculos abertos (para indicar exclusão) e pinte a região entre eles — tudo que fica entre esses círculos corresponde ao intervalo
.
Passo 9
Notações equivalentes e observações finais:
- Notação alternativa comum:
. - Em notação de conjunto:
. - Fecho:
. - Complemento em
: .