Descreva o método de eliminação de Gauss-Jordan e compare-o com o método de Gauss, destacando as vantagens e desvantagens de cada um. Utilize um exemplo para mostrar a transformação de uma matriz ampliada em sua forma escalonada reduzida.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o método de eliminação de Gauss-Jordan e compará-lo com o método de Gauss, apontando vantagens e desvantagens de cada um, e ainda ilustrar com um exemplo de transformação de uma matriz ampliada até a forma escalonada reduzida. O conteúdo envolve operações elementares de linha e conceitos de forma escalonada e forma escalonada reduzida (RREF).

Passo 2

O método de Gauss (eliminação de Gauss) consiste em usar operações elementares de linha para levar a matriz ampliada a uma forma escalonada (triangular). Em cada coluna pivô escolhe-se um elemento não nulo, normaliza-se a linha do pivô dividindo pelo valor desse pivô e, em seguida, anula-se os elementos abaixo dele, zerando as entradas da coluna. Após obter a forma escalonada, realiza-se a etapa de retrossubstituição para encontrar as incógnitas.

Passo 3

O método de Gauss-Jordan estende o Gauss completo: após obter o pivô em cada coluna, anula-se não só as entradas abaixo, mas também as acima, de modo que cada coluna pivô tenha exatamente um único 1 e zeros em todas as outras posições. Ao final, a matriz fica na forma escalonada reduzida (RREF) e as soluções aparecem diretamente na última coluna, sem necessidade de retrossubstituição.

Passo 4

Comparando os métodos:
Vantagens do Gauss:
* Menor número de operações, porque só se zera abaixo dos pivôs e depois faz retrossubstituição.
* Economiza memória e tempo em sistemas muito grandes.
Desvantagens do Gauss:
* Exige fase extra de retrossubstituição, que pode ser trabalhosa em papel.
Vantagens do Gauss-Jordan:
* A solução sai imediatamente na forma escalonada reduzida.
* Facilita estudo de dependência linear e cálculo de inversa (basta aplicar o algoritmo à matriz ampliada com a identidade).
Desvantagens do Gauss-Jordan:
* Realiza mais operações (zera acima e abaixo dos pivôs), exigindo mais cálculos e tempo de computador ou papel.

Passo 5

Vamos ilustrar com o sistema
\begin{cases} 2x + y - z = 8,\\\\ -3x - y +2z = -11,\\\\ -2x + y +2z = -3. \end{cases}
A matriz ampliada é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 8\\\\ -3 & -1 & 2 & -11\\\\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
  1. Dividimos a primeira linha por 2 para ter pivô 1:
R_1 \leftarrow \tfrac12R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 & 4\\\\ -3 & -1 & 2 & -11\\\\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
  1. Anulamos abaixo e acima do pivô da coluna 1:
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 & 4\\\\ 0 & \tfrac1 2 & \tfrac1 2 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
  1. Dividimos a segunda linha por \tfrac12 para pivô 1:
R_2 \leftarrow 2R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 & 4\\\\ 0 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
  1. Anulamos na coluna 2:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac12R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Dividimos a terceira linha por -1 e anulamos acima na coluna 3:
R_3 \leftarrow -R_3,\quad R_1 \leftarrow R_1 + R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 - R_3 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A forma escalonada reduzida (RREF) da matriz ampliada é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
logo a solução do sistema é x=2, y=3, z=-1.

Exercícios relacionados