Descreva o método de eliminação de Gauss-Jordan e compare-o com o método de Gauss, destacando as vantagens e desvantagens de cada um. Utilize um exemplo para mostrar a transformação de uma matriz ampliada em sua forma escalonada reduzida.
Passo 1
O enunciado pede para explicar o método de eliminação de Gauss-Jordan e compará-lo com o método de Gauss, apontando vantagens e desvantagens de cada um, e ainda ilustrar com um exemplo de transformação de uma matriz ampliada até a forma escalonada reduzida. O conteúdo envolve operações elementares de linha e conceitos de forma escalonada e forma escalonada reduzida (RREF).
Passo 2
O método de Gauss (eliminação de Gauss) consiste em usar operações elementares de linha para levar a matriz ampliada a uma forma escalonada (triangular). Em cada coluna pivô escolhe-se um elemento não nulo, normaliza-se a linha do pivô dividindo pelo valor desse pivô e, em seguida, anula-se os elementos abaixo dele, zerando as entradas da coluna. Após obter a forma escalonada, realiza-se a etapa de retrossubstituição para encontrar as incógnitas.
Passo 3
O método de Gauss-Jordan estende o Gauss completo: após obter o pivô em cada coluna, anula-se não só as entradas abaixo, mas também as acima, de modo que cada coluna pivô tenha exatamente um único 1 e zeros em todas as outras posições. Ao final, a matriz fica na forma escalonada reduzida (RREF) e as soluções aparecem diretamente na última coluna, sem necessidade de retrossubstituição.
Passo 4
Comparando os métodos:
Vantagens do Gauss:
* Menor número de operações, porque só se zera abaixo dos pivôs e depois faz retrossubstituição.
* Economiza memória e tempo em sistemas muito grandes.
Desvantagens do Gauss:
* Exige fase extra de retrossubstituição, que pode ser trabalhosa em papel.
Vantagens do Gauss-Jordan:
* A solução sai imediatamente na forma escalonada reduzida.
* Facilita estudo de dependência linear e cálculo de inversa (basta aplicar o algoritmo à matriz ampliada com a identidade).
Desvantagens do Gauss-Jordan:
* Realiza mais operações (zera acima e abaixo dos pivôs), exigindo mais cálculos e tempo de computador ou papel.
Passo 5
Vamos ilustrar com o sistema
\begin{cases} 2x + y - z = 8,\\\\ -3x - y +2z = -11,\\\\ -2x + y +2z = -3. \end{cases}