20-54 Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos P=(1,1,-1) e Q=(2,1,1) e distal da reta r: X=(1,0,2)+\lambda(1,0,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém os pontos
P=(1,1,-1),\quad Q=(2,1,1)
e que seja paralelo à reta
r:\;X=(1,0,2)+\lambda\,(1,0,2)\,.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: usamos a forma geral do plano
A x + B y + C z + D = 0
e impomos as condições de passagem por pontos e de paralelismo reta–plano.

Passo 2

Seja \mathbf{n}=(A,B,C) o vetor normal ao plano. Como P e Q estão no plano, o vetor
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,\;1-1,\;1-(-1))=(1,0,2)
deve ser ortogonal a \mathbf{n}. Logo
\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{n} =1\cdot A+0\cdot B+2\cdot C =A+2C =0.

Passo 3

Para que o plano seja paralelo à reta r, o vetor diretor
\mathbf{u}=(1,0,2)
de r também deve satisfazer \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=0. Como \mathbf{u}=\overrightarrow{PQ}, esta condição é a mesma A+2C=0. Assim
A=-2C
e podemos escrever
\mathbf{n}=(A,B,C) =(-2C,\;B,\;C) =B(0,1,0)+C(-2,0,1).

Passo 4

Para determinar D, impomos que o plano passe em P=(1,1,-1). Substituindo na equação
A x + B y + C z + D = 0
vem
-2C\cdot1 + B\cdot1 + C\cdot(-1) + D = 0 \quad\Longrightarrow\quad D=3C - B.

Passo 5

Substituindo A=-2C e D=3C-B na equação geral, obtemos
-2C\,x + B\,y + C\,z + (3C - B) = 0.
Chame B=\lambda e C=\mu, com (\lambda,\mu)\neq(0,0). A equação fica
\mu\,(2x - z - 3)\;-\;\lambda\,(y - 1)\;=\;0.
Dividindo por \mu\neq0 e definindo k=\lambda/\mu, chega-se à forma
2x - z -3 \;+\;k\,(y-1)\;=\;0, \quad k\in\mathbb{R}.

Resposta

A família de planos desejada é
2x - z - 3 \;+\;k\,(y - 1)\;=\;0, \quad k\in\mathbb{R}.

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