20-54 Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos
e
e distal da reta
.
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém os pontos
e que seja paralelo à reta
O conteúdo é geometria analítica no espaço: usamos a forma geral do plano
e impomos as condições de passagem por pontos e de paralelismo reta–plano.
Passo 2
Seja
o vetor normal ao plano. Como
e
estão no plano, o vetor
deve ser ortogonal a
. Logo
Passo 3
Para que o plano seja paralelo à reta
, o vetor diretor
de
também deve satisfazer
. Como
, esta condição é a mesma
. Assim
e podemos escrever
Passo 4
Para determinar
, impomos que o plano passe em
. Substituindo na equação
vem
Passo 5
Substituindo
e
na equação geral, obtemos
Chame
e
, com
. A equação fica
Dividindo por
e definindo
, chega-se à forma
Resposta
A família de planos desejada é